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BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

Version 13.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/03 23:13

K5 Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
K5 Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren

Gegeben sind zwei lineare Funktionen f_i mit f_i(x)=m_i x+b_i für i=1,2.

  1. Ermittle rechnerisch (nach Definition der Verknüpfung) die Hauptform der Produktfunktion f=f_1\cdot f_2.
  2. Ermittle rechnerisch (nach Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von f die Hauptform der ersten Ableitung f' von f.
  3. Zeige, dass sich f' folgendermaßen schreiben lässt: f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'.
  4. Recherchiere die Produktregel für Ableitungen (vgl. Merkhilfe, S. 5).
  5. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Produktregel für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt ist.
    Anmerkung. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen lokal "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1).
AFB   IIIKompetenzen   K1 K5 K6Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Martin RathgebLizenz   CC BY-SA

Gegeben sind zwei lineare Funktionen f_i mit f_i(x)=m_i x+b_i für i=1,2.

  1. Ermittle rechnerisch (nach Definition der Verknüpfung) die Hauptform der Verkettung f=f_2\circ f_1.
  2. Ermittle rechnerisch (nach Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von f die Hauptform der ersten Ableitung f' von f.
  3. Zeige, dass sich f' folgendermaßen schreiben lässt: f'=(f_2'\circ f_1) \cdot (f_1').
  4. Recherchiere die Kettenregel für Ableitungen (vgl. Merkhilfe, S. 5).
  5. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Kettenregel für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt ist.
    Anmerkung. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen lokal "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1).
AFB   IIIKompetenzen   K1 K5 K6Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Martin RathgebLizenz   CC BY-SA