BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden

[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren

{{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}

5

Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.

6

(% class="abc" %)

7

1. (((Ermittle rechnerisch (nach Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:

8

1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}

9

1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}

10

1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.

11

1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.

12

13

)))

14

1. Ermittle rechnerisch (nach Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.

15

1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:

16

1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}

17

1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}

18

1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}

19

1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot (f_1'){{/formula}}.

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21

)))

22

1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).

23

1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.

24

//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1).

25

26

27

{{aufgabe id="Spezielle Ableitungen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}

28

//Implizites Ableiten//. Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion //f// den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung //f'//.

29

(% class="abc" %)

30

1. {{formula}}f(x)=x \cdot x^{k-1}{{/formula}}

31

1. {{formula}}f(x)=x^n \cdot x^{-n}{{/formula}}

32

1. {{formula}}f(x)=e^{\ln(x)}{{/formula}}

33

1. {{formula}}f(x)=e^{r\cdot \ln(x)}{{/formula}}

34

1. {{formula}}f(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}}