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BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

Version 22.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/03 23:44

K5 Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
K5 Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren

Gegeben sind eine reelle Zahl a sowie zwei lineare Funktionen f_i mit f_i(x)=m_i x+b_i für i=1,2.

  1. Ermittle rechnerisch (nach Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:

    1. Summenfunktion f=f_1 + f_2
    2. Vielfachenfunktion f=a \cdot f_1
    3. Produktfunktion f=f_1\cdot f_2.
    4. Verkettung f=f_2\circ f_1.
       
  2. Ermittle rechnerisch (nach Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von f die Hauptform der ersten Ableitung f' von f.

  3. Zeige, dass sich f' folgendermaßen schreiben lässt:

    1. Summenfunktion f'=f_1' + f_2'
    2. Vielfachenfunktion f'=a \cdot f_1'
    3. Produktfunktion f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'
    4. Verkettung f'=(f_2'\circ f_1) \cdot (f_1').
       
  4. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
  5. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
    Anmerkung. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen lokal "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1).
AFB   IIIKompetenzen   K1 K5 K6Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Martin RathgebLizenz   CC BY-SA

Implizites Ableiten. Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion f den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung f'.

  1. f(x)=x^k \cdot x^{-k} für k\in \mathbb{N}^*
  2. f(x)=e^{\ln(x)}
  3. f(x)=e^{r\cdot \ln(x)} für r\in \mathbb{R}_+^*
  4. f(x)=\sin(x-(-\pi/2))
AFB   IIIKompetenzen   K2 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Martin RathgebLizenz   CC BY-SA