Wiki-Quellcode von BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen
Version 27.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/04 22:02
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
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3.1 | 1 | [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden |
| 2 | [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren | ||
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4.1 | 3 | |
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26.1 | 4 | {{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="35"}} |
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14.1 | 5 | Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}. |
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4.1 | 6 | (% class="abc" %) |
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14.1 | 7 | 1. (((Ermittle rechnerisch (nach Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen: |
| 8 | 1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}} | ||
| 9 | 1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}} | ||
| 10 | 1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}. | ||
| 11 | 1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}. | ||
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16.1 | 12 | |
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14.1 | 13 | ))) |
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12.1 | 14 | 1. Ermittle rechnerisch (nach Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//. |
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14.1 | 15 | 1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt: |
| 16 | 1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}} | ||
| 17 | 1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}} | ||
| 18 | 1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}} | ||
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25.1 | 19 | 1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'{{/formula}}. |
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16.1 | 20 | |
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14.1 | 21 | ))) |
| 22 | 1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5). | ||
| 23 | 1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind. | ||
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27.1 | 24 | //Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. |
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4.1 | 25 | {{/aufgabe}} |
| 26 | |||
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17.1 | 27 | {{aufgabe id="Spezielle Ableitungen" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}} |
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23.1 | 28 | Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion //f// den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung //f'//. |
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13.1 | 29 | (% class="abc" %) |
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24.1 | 30 | 1. {{formula}}f(x)=x^1 \cdot x^{k-1}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}} |
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20.1 | 31 | 1. {{formula}}f(x)=x^k \cdot x^{-k}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}} |
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17.1 | 32 | 1. {{formula}}f(x)=e^{\ln(x)}{{/formula}} |
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21.1 | 33 | 1. {{formula}}f(x)=e^{r\cdot \ln(x)}{{/formula}} für {{formula}}r\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}} |
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19.1 | 34 | 1. {{formula}}f(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} |
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13.1 | 35 | {{/aufgabe}} |
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