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Version 33.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/04 22:58
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Martina Wagner 3.1 1 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
Martin Rathgeb 4.1 3
Martin Rathgeb 26.1 4 {{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="35"}}
Martin Rathgeb 14.1 5 Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 4.1 6 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 30.1 7 1. (((Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:
Martin Rathgeb 14.1 8 1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}
9 1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}
10 1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.
11 1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 12
Martin Rathgeb 14.1 13 )))
Martin Rathgeb 30.1 14 1. Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.
Martin Rathgeb 14.1 15 1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:
16 1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}
17 1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}
18 1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}
Martin Rathgeb 25.1 19 1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 20
Martin Rathgeb 14.1 21 )))
22 1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
23 1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
Martin Rathgeb 29.1 24 //Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}} gilt. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche die Ableitungsregeln erfüllen.
Martin Rathgeb 4.1 25 {{/aufgabe}}
26
Martin Rathgeb 30.1 27 {{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
28 Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
29 //Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
33 Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
34 (% class="abc" %)
35 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.
36 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=3,4{{/formula}} mittels Produktregel.
37 //Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^3=x^2\cdot x{{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=x^4=x^3\cdot x{{/formula}}.
38 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=5{{/formula}} mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.
Martin Rathgeb 31.1 39 //Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}{{/formula}} oder ähnliches.
Martin Rathgeb 30.1 40 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=1/2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 31.1 41 //Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=f(x)\cdot f(x)=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=2 f(x) f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
Martin Rathgeb 30.1 42 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=-n{{/formula}} mit {{formula}}n\in \mathbb{N}^*{{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 43 //Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
Martin Rathgeb 30.1 44 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 45 //Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
Martin Rathgeb 30.1 46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Spezielle Ableitungen" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 23.1 49 Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion //f// den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung //f'//.
Martin Rathgeb 13.1 50 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 24.1 51 1. {{formula}}f(x)=x^1 \cdot x^{k-1}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}}
Martin Rathgeb 20.1 52 1. {{formula}}f(x)=x^k \cdot x^{-k}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}}
Martin Rathgeb 17.1 53 1. {{formula}}f(x)=e^{\ln(x)}{{/formula}}
Martin Rathgeb 21.1 54 1. {{formula}}f(x)=e^{r\cdot \ln(x)}{{/formula}} für {{formula}}r\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}
Martin Rathgeb 19.1 55 1. {{formula}}f(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}}
Martin Rathgeb 13.1 56 {{/aufgabe}}