BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

Version 41.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/05 00:08

K5 Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
K5 Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren

Aufgabe 1 Ableitungsregeln entdecken und begründen

Gegeben sind eine reelle Zahl a sowie zwei lineare Funktionen f_i mit f_i(x)=m_i x+b_i für i=1,2 .

Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:
1. Summenfunktion
2. Vielfachenfunktion $f=a \cdot f_1$
3. Produktfunktion $f=f_1\cdot f_2$ .
4. Verkettung $f=f_2\circ f_1$ .
Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von f die Hauptform der ersten Ableitung f' von f.
Zeige, dass sich f' folgendermaßen schreiben lässt:
1. Summenfunktion
2. Vielfachenfunktion $f'=a \cdot f_1'$
3. Produktfunktion $f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'$
4. Verkettung $f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'$ .
Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
Anmerkung. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen lokal "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von u die Näherung $f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u)$ gilt. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche die Ableitungsregeln erfüllen.

AFB III	Kompetenzen K1 K5 K6	Bearbeitungszeit 35 min
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Aufgabe 2 Exponentialfunktion ableiten

Gegeben ist eine Exponentialfunktion f_q mit f_q(x)=q^x für q>0. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung f_q' untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.

Zeige, dass gilt: $f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0)$ .
Untersuche die Abbildung $q\mapsto f_q'(0)$ mit dem WTR.
1. Ansatz. Wähle für q Potenzen von e und approximiere den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern.
2. Anmerkung. Es gilt folgende Gleichung $f_q'(0)=\ln(q)$ . Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
3. Anmerkung. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen $\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e$ . Das zeichnet die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis e) unter allen Exponentialfunktionen aus: bzw. kurz .
4. Anmerkung. Es gilt $f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x)$ .

AFB II	Kompetenzen K1 K5	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 3 Logarithmusfunktion ableiten

Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion $\ln$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}_+^*$ und zugehörigem Wertebereich $\mathbb{R}$ . Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung $\ln'$ ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
Implizites Differenzieren. Betrachte die Hilfsfunktion h mit $h(x)=e^{\ln(x)}=x$ . Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) $1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x)$ nach $\ln'$ auf.

AFB II	Kompetenzen K1 K5	Bearbeitungszeit 5 min
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Aufgabe 4 Potenzregel und Produktregel

Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)=x^k .

Zeige die Instanz der Potenzregel für mittels Definition des Differenzialquotienten.
Zeige die Instanz der Potenzregel für mittels Produktregel.
Ansatz. $f(x)=x^3=x^2\cdot x$ bzw. $f(x)=x^4=x^3\cdot x$ .
Zeige die Instanz der Potenzregel für mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.
Ansatz. $f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}$ oder ähnliches.
Zeige die Instanz der Potenzregel für .
Ansatz (implizites Differenzieren). Betrachte die Hilfsfunktion h mit $h(x)=f(x)\cdot f(x)=x$ . Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) nach auf.
Zeige die Instanz der Potenzregel für mit $n\in \mathbb{N}^*$ .
Ansatz (implizites Differenzieren). Betrachte die Hilfsfunktion h mit $h(x)=x^n\cdot f(x)=1$ . Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) $0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x)$ nach auf.
Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für $k\in \mathbb{R}_+^*$ .
Ansatz. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung $f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}$ von f und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.

AFB III	Kompetenzen K1 K5	Bearbeitungszeit 30 min
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Aufgabe 5 Winkelfunktionen

Gegeben sind die Winkelfunktionen $\sin, \cos$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ und zugehörigem Wertebereich [-1;+1] . Wir wollen ihre ersten Ableitungen $\sin', \cos'$ ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion h mit $h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1$ (trigonometrischer Pythagoras).

Implizites Differenzieren. Zeige, dass gilt: $\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x)$ .
Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und der Graphen der Winkelfunktionen, dass $\sin'=\cos$ und $\cos'=-\sin$ gilt.
Zeige, dass aus $\sin'=\cos$ mittels Kettenregel $\cos'=-\sin$ folgt.
Ansatz. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung $\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2))$ von .
Anmerkung. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in Teilaufgabe (b).
Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.