Änderungen von Dokument Lösung Ableitungsregeln entdecken und begründen

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Seiteneigenschaften

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...	...	@@ -19,9 +19,72 @@
19	19	\begin{align}
20	20	f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\
21	21	&=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\
22		-&=(m_2m_1)x+(m_2b_1+b_2)
	22	+&=(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)
23	23	\end{align}
24	24	{{/formula}}
25	25
26	26	)))
27	27	)))
	28	+1. (((Die Ableitung an der Stelle {{formula}}x_0{{/formula}} berechnet sich mit Hilfe des Differenzialquotienten durch
	29	+{{formula}}f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}{{/formula}}
	30	+
	31	+1. (((Summenfunktion:
	32	+
	33	+{{formula}}
	34	+\begin{align}
	35	+f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\
	36	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\
	37	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\
	38	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\
	39	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\
	40	+&=m_1+m_2
	41	+\end{align}
	42	+{{/formula}}
	43	+
	44	+Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1+m_2{{/formula}}.
	45	+)))
	46	+1. (((Vielfachenfunktion:
	47	+
	48	+{{formula}}
	49	+\begin{align}
	50	+f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\
	51	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\
	52	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\
	53	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\
	54	+&=am_1
	55	+\end{align}
	56	+{{/formula}}
	57	+
	58	+Somit ist {{formula}}f'(x)=am_1{{/formula}}.
	59	+)))
	60	+1. (((Produktfunktion:
	61	+
	62	+{{formula}}
	63	+\begin{align}
	64	+f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\
	65	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2}{x-x_0}\\
	66	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2-m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x-(m_1b_2+m_2b_1)x_0}{x-x_0}\\
	67	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x^2-x_0^2)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\
	68	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\
	69	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) \\
	70	+&=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\
	71	+\end{align}
	72	+{{/formula}}
	73	+
	74	+Somit ist {{formula}}f'(x)=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1){{/formula}}.
	75	+)))
	76	+1. (((Verkettung:
	77	+
	78	+{{formula}}
	79	+\begin{align}
	80	+f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\
	81	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\
	82	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x-(m_1m_2)x_0}{x-x_0}\\
	83	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\
	84	+&=m_1m_2
	85	+\end{align}
	86	+{{/formula}}
	87	+
	88	+Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2{{/formula}}.
	89	+)))
	90	+)))