- Summenfunktion \(f(x)=f_1(x)+f_2(x)=m_1x+b_1+m_2x+b_2=(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)\)
- Vielfachenfunktion \(f(x)=a\cdot f_1(x)=a\cdot (m_1x+b_1)=(am_1)x+ab_1\)
Produktfunktion
\[\begin{align} f(x)&=f_1(x)\cdot f_2(x) \\ &=(m_1x+b_1)\cdot(m_2x+b_2)\\ &=m_1m_2x^2+m_1b_2x+m_2b_1x+b_1b_2\\ &=m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2 \end{align}\]Verkettung
\[\begin{align} f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\ &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\ &=(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2) \end{align}\]
Die Ableitung an der Stelle \(x_0\) berechnet sich mit Hilfe des Differenzialquotienten durch
\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)Summenfunktion:
\[\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\ &=m_1+m_2 \end{align}\]Somit ist \(f'(x)=m_1+m_2\).
Vielfachenfunktion:
\[\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=am_1 \end{align}\]Somit ist \(f'(x)=am_1\).
Produktfunktion:
\[\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2-m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x-(m_1b_2+m_2b_1)x_0}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x^2-x_0^2)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) \\ &=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\ \end{align}\]Somit ist \(f'(x)=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1)\).
Verkettung:
\[\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x-(m_1m_2)x_0}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=m_1m_2 \end{align}\]Somit ist \(f'(x)=m_1m_2\).
Wir berechnen die Ableitung der Funktion \(f_i(x)\) mit dem Differenzialquotienen:
\[\begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-(m_ix_0+b_i)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-m_ix_0-b_i}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix-m_ix_0}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_i(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=m_i \end{align}\]Also ist \(f_1^\prime(x)=m_1\) und \(f_1^\prime(x)=m_2\).
Nun betrachten wir die einzelnen zusammengesetzten Funktionen:
- Summenfunktion: \(f'(x)\underset{b)}{=}m_1+m_2=f_1'(x)+f_2'(x)\)
- Vielfachenfunktion: \(f'(x)\underset{b)}{=}am_1=a\cdot f_1'(x)\)
Produktfunktion:
\[\begin{align} &f_1'(x)\cdot f_2(x)+f_1(x)\cdot f_2'(x)=m_1\cdot (m_2x+b_2)+(m_1x+b_1)\cdot m_2 \\ &=m_1m_2x+m_1b_2+m_1m_2x+b_1m_2 \\ &=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1) \\ &\underset{b)}{=}f'(x) \end{align}\]- Verkettung: \((f_2'(x)\circ f_1(x))\cdot f_1'(x)= (f_2'(f_1(x))\cdot m_1 =m_2m_1\underset{b)}{=}f'(x)\)
- +e) Ersetzt man in der Merkhilfe \(u(x)\) durch \(f_1(x)\) und \(v(x)\) durch \(f_2(x)\) (bzw. bei der Verkettung genau andersrum), so sieht man direkt, dass die in c) gezeigten Regeln den allgemeinen Ableitungsregeln entsprechen.