Änderungen von Dokument Lösung Exponentialfunktion ableiten

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2	2	1. Nach der 3. Anmerkung ist {{formula}}f_q^\prime(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}}.
3	3	Nach Anmerkung 1. gilt {{formula}}f_q^\prime(0)=\ln(q){{/formula}}.
4	4	Insgesamt ist {{formula}}f_q(x)\cdot f_q^\prime(0)=q^x\cdot \ln(q)=f_q^\prime(x){{/formula}}.
5		-1.
	5	+1. (((Für {{formula}}q=e{{/formula}} ist {{formula}}f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1{{/formula}}
	6	+Nun schauen wir für amdere Werte von {{formula}}q{{/formula}}, was wir für kleine {{formula}}h{{/formula}} (z.B. {{formula}}h=0,000001{{/formula}}) erhalten zum Beispiel:
	7	+{{formula}}q=1: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1^h-1}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1-1}{h}=0\ {{/formula}}
	8	+{{formula}}q=2: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2^h-1}{h} \approx \frac{2^0,000001-1}{0,000001}\approx 0,693{{/formula}}
	9	+
	10	+Wir stellen dabei fest, dass die zu untersuchende Abbildung ist der natürliche Algorithmus ist.
	11	+Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}})))
6	6	1. (((Zu zeigen ist {{formula}}f'(x)=b\cdot e^{bx}{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=e^{bx}{{/formula}}.
7	7	Für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} ist {{formula}}f(x)=q^x=f_q(x){{/formula}} und somit {{formula}}f^\prime(x)=f_q^\prime(x)= \ln(q)\cdot q^x{{/formula}}.
8	8