Änderungen von Dokument Lösung Exponentialfunktion ableiten

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5	5	1. (((Für {{formula}}q=e{{/formula}} ist {{formula}}f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1{{/formula}}
6	6	Nun schauen wir für weitere Werte von {{formula}}q{{/formula}}, was wir für kleine {{formula}}h{{/formula}} (z.B. {{formula}}h=0,000001{{/formula}}) erhalten zum Beispiel:
7	7	{{formula}}q=1: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1^h-1}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1-1}{h}=0\ {{/formula}}
	8	+
8	8	{{formula}}q=2: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2^h-1}{h} \approx \frac{2^{0,000001}-1}{0,000001}\approx 0,693{{/formula}}
9	9
10		-Wir stellen dabei fest, dass die zu untersuchende Abbildung der natürliche Algorithmus ist.
	11	+Wir stellen dabei fest, dass die zu untersuchende Abbildung der natürliche Logarithmus ist.
11	11	Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}})))
12	12	1. (((Zu zeigen ist {{formula}}f'(x)=b\cdot e^{bx}{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=e^{bx}{{/formula}}.
13	13	Für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} ist {{formula}}f(x)=q^x=f_q(x){{/formula}} und somit {{formula}}f^\prime(x)=f_q^\prime(x)= \ln(q)\cdot q^x{{/formula}}.