Lösung Funktion und Ableitung

Wir erhalten die Ableitung der Funktion mit Hilfe der Kettenregel \(f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x)\).

Die Ableitung von \(u(x)=e^{2x}\) ist gegeben durch \(u^\prime(x)=2e^{2x}\).
Somit ist \(f^\prime(x)=2e^{2x}\cdot v(x)+e^{2x}\cdot v^\prime(x)\).
Also ist \(v^\prime(x)=4\). 

Damit ist \(v(x)=4x+c\), wobei \(c\) eine beliebige Konstante ist. Wir erhalten dadurch
\(f(x)=e^{2x}\cdot (4x+c) ~ \text{und} ~ f´(x)=2e^{2x}\cdot (4x+c) + 4e^{2x}\).
Da man für \(c\) eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich beliebig viele Lösungen.

Wir betrachten erneut die Kettenregel \(f(x)=u(x)\cdot v(x) \ \implies \ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x)\).

Die Ableitung von \(v(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}\) ist gegeben durch \(v^\prime(x)=(-1)\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}\).

Wir wissen also schon mal, dass
\(f´(x)= \frac{5}{2\sqrt\square}\cdot \frac{1}{x} + u(x) \cdot -x^{-2}\) gilt.

Die Ableitung von \(u(x)\) ist gegeben durch \(\frac{5}{2\sqrt{\square}}\), was auf die Ableitung einer Wurzelfunktion hindeutet.
Wir wählen also \(u(x)=\frac{5}{2}\sqrt{x}+c\), wobei \(c\) wieder eine beliebige Konstante ist. Es ergibt sich somit

\(f´(x)= \frac{5}{2\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{x} + (\frac{5}{2}\sqrt{x}+c)\cdot -x^{-2}\).

Da man für \(c\) eine beliebige Konstante wählen kann, weil sie beim Ableiten wegfällt, ergeben sich auch hier beliebig viele Lösungen.