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Version 6.1 von Dirk Tebbe am 2026/03/03 08:32
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1 {{detail summary="Hinweis 1"}}
2 Leite {{formula}}f^\prime{{/formula}} ein paar mal ab, um zu sehen, was passiert.
3 Bilde zudem die Funktion {{formula}}f{{/formula}} indem du die Ableitungsregeln umkehrst. Beachte dabei die Randbedingung {{formula}}f\left(0\right)=1{{/formula}}.
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8 {{detail summary="Hinweis 2"}}
9 Durch mehrmaliges Ableiten von {{formula}}f{{/formula}} entsteht jedes Mal ein weiterer Vorfaktor 2.
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11 Überlege dir, welcher grafischen Transformation eine Multiplikation des Funktionsterms mit der Zahl 2 entspricht.
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16 {{detail summary="Hinweis 3"}}
17 Die mehrmalige Multiplikation mit 2 ergibt eine Streckung in y-Richtung. Diese Streckung in y-Achsrichtung kann man jedoch auch als Verschiebung der Funktion {{formula}}f{{/formula}} in x-Richtung deuten. Dazu muss man die hunderste Ableitung so umformen, dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird.
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20 Beispiel für die natürliche Exponentialfunktion:
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22 {{formula}}f\left(x\right)=e^x{{/formula}}
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24 Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a:
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26 {{formula}}g\left(x\right)=a\cdot e^x{{/formula}}
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28 Jetzt kommt die algebraische Umformung (Formeln siehe Merkhilfe):
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30 Zuerst bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis:
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32 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}}\cdot e^x{{/formula}}
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34 „Zwei Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden und die Basis beibehalten wird.“ (erstes Potenzgesetz)
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36 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}+x}{{/formula}}
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38 Das heißt die Transformation kann ebenso als Verschiebung um {{formula}}\ln{\left(a\right)}{{/formula}} nach links verstanden werden:
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40 {{formula}}g\left(x\right)=f\left(x+\ln{\left(a\right)}\right){{/formula}}
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