Zum Inhalt springen
Version 9.1 von Dirk Tebbe am 2026/03/03 08:35
Zeige letzte Bearbeiter
1 {{detail summary="Hinweis 1"}}
2 Leite {{formula}}f^\prime{{/formula}} ein paar mal ab, um zu sehen, was passiert.
3 <br>
4 Bilde zudem die Funktion {{formula}}f{{/formula}} indem du die Ableitungsregeln umkehrst. Beachte dabei die Randbedingung {{formula}}f\left(0\right)=1{{/formula}}.
5
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Hinweis 2"}}
10 Durch mehrmaliges Ableiten von {{formula}}f{{/formula}} entsteht jedes Mal ein weiterer Vorfaktor 2.
11 <br>
12 Überlege dir, welcher grafischen Transformation eine Multiplikation des Funktionsterms mit der Zahl 2 entspricht.
13
14 {{/detail}}
15
16
17 {{detail summary="Hinweis 3"}}
18 Die mehrmalige Multiplikation mit 2 ergibt eine Streckung in y-Richtung.
19 <br>
20 Diese Streckung in y-Achsrichtung kann man jedoch auch als Verschiebung der Funktion {{formula}}f{{/formula}} in x-Richtung deuten. Dazu muss man die hunderste Ableitung so umformen, dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird.
21 <br>
22 <br>
23 Beispiel für die natürliche Exponentialfunktion:
24 <br>
25 {{formula}}f\left(x\right)=e^x{{/formula}}
26 <br>
27 Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a:
28 <br>
29 {{formula}}g\left(x\right)=a\cdot e^x{{/formula}}
30 <br>
31 Jetzt kommt die algebraische Umformung (Formeln siehe Merkhilfe):
32 <br>
33 Zuerst bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis:
34 <br>
35 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}}\cdot e^x{{/formula}}
36 <br>
37 „Zwei Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden und die Basis beibehalten wird.“ (erstes Potenzgesetz)
38 <br>
39 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}+x}{{/formula}}
40 <br>
41 Das heißt die Transformation kann ebenso als Verschiebung um {{formula}}\ln{\left(a\right)}{{/formula}} nach links verstanden werden:
42 <br>
43 {{formula}}g\left(x\right)=f\left(x+\ln{\left(a\right)}\right){{/formula}}
44
45 {{/detail}}