Lösung Genau ein gemeinsamer Punkt

Ob und wie oft sich zwei trigonometrische Funktionen schneiden hängt zum einen von ihren Wertebereichen ab, zum anderen von ihren Periodenlängen.
Um die Situation nur einen gemeinsamen Punkt zu konstruieren, denkt man am besten zunächst über die Wertebereiche nach. Hier gibt es drei Möglichkeiten:

• Die Wertebereiche sind disjunkt .. dann gibt es keine Schnittpunkte
• Die Wertebereiche überlappen sich .. dann finden wir Schnittpunkte vor
• Die Wertebereiche berühren sich .. dann entstehen Berührpunkte

Ohne es zu beweisen, darf man vermuten, dass es bei sich überlappenden Wertebereichen eher mehr gemeinsame Punkte gibt, als bei sich berührenden. Für die gewünschte Situation erscheint das also der geeignetere zu sein.

Wir stellen also beispielsweise folgende zwei Funktionen auf:

Von diesen wissen wir, dass sie sich im Punkt \(P(0|1)\) berühren. Jetzt gilt es, ein k zu finden, für das es keinen weiteren Berührpunkt gibt. Sprich: wir suchen ein k für das die Periodenlänge von g kein Vielfaches von der von f ist.

Periodenlängen von f und g
\(p_f=2\pi\), \(p_g=\frac{2\pi}{k}\)

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