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Zuletzt geändert von Dirk Tebbe am 2026/03/03 08:36
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akukin 1.1 1 {{detail summary="Hinweis 1"}}
2 Leite {{formula}}f^\prime{{/formula}} ein paar mal ab, um zu sehen, was passiert.
Dirk Tebbe 7.1 3 <br>
Dirk Tebbe 6.1 4 Bilde zudem die Funktion {{formula}}f{{/formula}} indem du die Ableitungsregeln umkehrst. Beachte dabei die Randbedingung {{formula}}f\left(0\right)=1{{/formula}}.
akukin 1.1 5
6 {{/detail}}
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9 {{detail summary="Hinweis 2"}}
10 Durch mehrmaliges Ableiten von {{formula}}f{{/formula}} entsteht jedes Mal ein weiterer Vorfaktor 2.
Dirk Tebbe 8.1 11 <br>
akukin 1.1 12 Überlege dir, welcher grafischen Transformation eine Multiplikation des Funktionsterms mit der Zahl 2 entspricht.
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14 {{/detail}}
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17 {{detail summary="Hinweis 3"}}
Dirk Tebbe 9.1 18 Die mehrmalige Multiplikation mit 2 ergibt eine Streckung in y-Richtung.
akukin 1.1 19 <br>
Dirk Tebbe 9.1 20 Diese Streckung in y-Achsrichtung kann man jedoch auch als Verschiebung der Funktion {{formula}}f{{/formula}} in x-Richtung deuten. Dazu muss man die hunderste Ableitung so umformen, dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird.
akukin 2.1 21 <br>
Dirk Tebbe 9.1 22 <br>
akukin 1.1 23 Beispiel für die natürliche Exponentialfunktion:
24 <br>
25 {{formula}}f\left(x\right)=e^x{{/formula}}
26 <br>
27 Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a:
28 <br>
29 {{formula}}g\left(x\right)=a\cdot e^x{{/formula}}
30 <br>
Dirk Tebbe 10.1 31 <br>
akukin 1.1 32 Jetzt kommt die algebraische Umformung (Formeln siehe Merkhilfe):
33 <br>
34 Zuerst bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis:
35 <br>
36 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}}\cdot e^x{{/formula}}
37 <br>
38 „Zwei Potenzen mit derselben Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden und die Basis beibehalten wird.“ (erstes Potenzgesetz)
39 <br>
40 {{formula}}g\left(x\right)=e^{\ln{\left(a\right)}+x}{{/formula}}
41 <br>
42 Das heißt die Transformation kann ebenso als Verschiebung um {{formula}}\ln{\left(a\right)}{{/formula}} nach links verstanden werden:
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44 {{formula}}g\left(x\right)=f\left(x+\ln{\left(a\right)}\right){{/formula}}
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46 {{/detail}}