BPE 20.1 Ma­trix-Schreib­wei­se und Rechenoperationen

1  Addition und skalare Multiplikation von Matrizen  (4 min)

Gegeben sind zwei Matrizen  \(A=\begin{pmatrix}7&0\\-1&2\end {pmatrix}\) und \(B=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-12\end {pmatrix}\).
Berechne:

1. \(A+B\)
2. \(A-B\)
3. \(2 \cdot A + 7 \cdot B\)
4. \(-4 \cdot A + 5 \cdot B\)

2  Matrizen multiplizieren  (10 min)

Gegeben sind zwei Matrizen \(A=\begin{pmatrix}7&0\\-1&2\end {pmatrix}\) und \(B=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-12\end {pmatrix}\).
Berechne:

1. \(A \cdot B\)
2. \(B \cdot A\)
3. \(A^2\)
4. \(B^2\)

3  Vektor mit Matrix multiplizieren  (3 min)

Gegeben ist ein Vektor \( \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\0\end {pmatrix}\)  und eine  Matrix \(M=\begin{pmatrix}6&9\\-1&1\end {pmatrix}\).
Bilde das Produkt aus Vektor \( \vec{v}\) und Matrix \(M\).

4  Inverse Matrix  (k.A.)

Gegeben sind drei Matrizen
\(A=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\\1&0\end {pmatrix}\),

\(B=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-12\end {pmatrix}\),

\(C=\begin{pmatrix}5&6&4\\2&-12&6\end {pmatrix}\).

Begründe dass nur eine der drei Matrizen eine Inverse haben kann.

5  Assoziativgesetz der Matrizenaddition begründen  (15 min) 𝕋 

Zeige, dass für 2x2-Matrizen das Assoziativ-Gesetz der Addition gilt:

\((A+B)+C=A+(B+C)\)

6  Inverse einer 2x2-Matrix mit Adjunktenregel berechnen  (k.A.)

Ein Schüler der Abiturklasse stellt die Frage, ob er in der Klassenarbeit die Inverse einer 2x2-Matrix \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end {pmatrix}\) auch mit dem folgenden Merksatz berechnen darf:

- Hauptdiagonale tauschen,

- Nebendiagonale minus,

- durch Determinante teilen.

Zeige rechnerisch: Die dabei entstehende Matrix \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end {pmatrix}\) ist Inverse zu Matrix \(A\).