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Änderungen von Dokument BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

Zuletzt geändert von Dirk Tebbe am 2025/10/14 08:13
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bearbeitet von Martin Stern
am 2025/10/13 10:35
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bearbeitet von Martin Stern
am 2025/10/14 07:57
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -37,7 +37,7 @@
37 37  1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 -{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
40 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="10" cc="by"}}
41 41  Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
42 42  
43 43  1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
... ... @@ -44,10 +44,34 @@
44 44  1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
45 45  {{/aufgabe}}
46 46  
47 -{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
47 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="15" tags="" cc="by"}}
48 48  Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
49 49  
50 +1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
50 50  1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
51 51  1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
52 52  1. Zeige: Alle Tangenten an {{formula}}K_f{{/formula}} haben negative Steigung.
53 53  {{/aufgabe}}
55 +
56 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt III" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
57 +1.
58 +[[image:Kosinusfunktion.svg||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
59 +
60 +2.
61 +{{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
62 +{{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
63 +{{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
64 +{{formula}}h(6)=1{{/formula}}
65 +Einsetzen von {{formula}}m=\frac{\pi}{4}{{/formula}} und {{formula}}P(6|1){{/formula}}in {{formula}}y=mx+c{{/formula}} liefert {{formula}}c=1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}.
66 +{{formula}}t: y=\frac{\pi}{4}x+1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}
67 +
68 +3.
69 +{{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
70 +{{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
71 +{{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
72 +Substituiere:{{formula}}\frac{\pi}{4}x=u{{/formula}}
73 +{{formula}}sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
74 +{{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
75 +{{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
76 +Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
77 +{{/aufgabe}}
Exponentialfunktion.ggb
Author
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1 +XWiki.dirktebbe
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Inhalt
Exponentialfunktion.png
Author
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1 +XWiki.martinstern
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Inhalt
Exponentialfunktion.svg
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1 +XWiki.dirktebbe
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Inhalt
Kosinusfunktion.svg
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1 +XWiki.dirktebbe
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