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Zuletzt geändert von Martina Wagner am 2025/12/11 09:38
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1 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
2 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist
3
4 {{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
5 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
6 (%class=abc%)
7 1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
8 1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
9 {{/aufgabe}}
10
11 {{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="15" tags="" cc="by"}}
12 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
13 (%class=abc%)
14 1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
15 1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
16 1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
17 1. Zeige: Alle Tangenten an {{formula}}K_f{{/formula}} haben negative Steigung.
18 {{/aufgabe}}
19
20 {{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt III" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
21
22 Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
23 Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
24 (%class=abc%)
25 1. (((
26 [[image:Kosinusfunktion.svg||width="450"]]
27 )))
28 1.(((
29 {{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
30 {{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
31 {{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
32 {{formula}}h(6)=1{{/formula}}
33 Einsetzen von {{formula}}m=\frac{\pi}{4}{{/formula}} und {{formula}}P(6|1){{/formula}}in {{formula}}y=mx+c{{/formula}} liefert {{formula}}c=1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}.
34 {{formula}}t: y=\frac{\pi}{4}x+1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}
35 )))
36 1. (((
37 {{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
38 {{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
39 {{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
40 Substituiere:{{formula}}\frac{\pi}{4}x=u{{/formula}}
41 {{formula}}sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
42 {{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
43 {{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
44 Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
45 )))
46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Polynomfunktionen" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
49 Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an den Graphen an der Stelle //x = 0// ist.
50 {{/aufgabe}}
51
52 {{aufgabe id="Funktion gesucht" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11" tags="problemlösen"}}
53 Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle //x = 2// die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
54 {{/aufgabe}}
55
56 {{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
57 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
58 Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
59 [[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
60 (%class=abc%)
61 1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten {{formula}}t{{/formula}} an.
62 1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
63 {{/aufgabe}}
64
65 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}