Änderungen von Dokument BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,45 +1,9 @@
1	1	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
2	2	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist
3	3
4		-{{aufgabe id="Tangente Funktionsschar" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
5		-
6		-Gegeben ist für jede positive reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=a\cdot x^2{{/formula}}. Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f_\frac{1}{2}\left(4\right)\right){{/formula}}.
7		-[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="float: right"]]
8		-1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
9		-1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f_a\left(u\right)\right){{/formula}} die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f_a\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
10		-
11		-
12		-
13		-
14		-
15		-
16		-
17		-
18		-__Hinweis__:
19		-Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
20		-
21		-**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**:
22		-Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
23		-Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
24		-[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
25		-
26		-1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
27		-1. Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} wird in //y//-Richtung gestreckt; dabei entsteht der Graph der transformierten Funktion {{formula}}g{{/formula}}.
28		-Weise nach, dass unabhängig vom Streckungsfaktor für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die an den gestreckten Graphen im Punkt {{formula}}\left(u\middle| g\left(u\right)\right){{/formula}} angelegte Tangente die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-g\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
29		-{{/aufgabe}}
30		-
31		-{{aufgabe id="Tangente und Berührpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
32		-Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
33		-Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
34		-[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
35		-
36		-1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
37		-1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
38		-{{/aufgabe}}
39		-
40	40	{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
41	41	Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
42		-
	6	+(%class=abc%)
43	43	1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
44	44	1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
45	45	{{/aufgabe}}
...	...	@@ -46,7 +46,7 @@
46	46
47	47	{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="15" tags="" cc="by"}}
48	48	Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
49		-
	13	+(%class=abc%)
50	50	1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
51	51	1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
52	52	1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
...	...	@@ -57,10 +57,11 @@
57	57
58	58	Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
59	59	Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
60		- 1.
	24	+(%class=abc%)
	25	+1. (((
61	61	[[image:Kosinusfunktion.svg||width="450"]]
62		-
63		-2.
	27	+)))
	28	+1.(((
64	64	{{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
65	65	{{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
66	66	{{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
...	...	@@ -67,8 +67,8 @@
67	67	{{formula}}h(6)=1{{/formula}}
68	68	Einsetzen von {{formula}}m=\frac{\pi}{4}{{/formula}} und {{formula}}P(6|1){{/formula}}in {{formula}}y=mx+c{{/formula}} liefert {{formula}}c=1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}.
69	69	{{formula}}t: y=\frac{\pi}{4}x+1-\frac{3}{2}\pi{{/formula}}
70		-
71		-3.
	35	+)))
	36	+1. (((
72	72	{{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
73	73	{{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
74	74	{{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
...	...	@@ -77,4 +77,27 @@
77	77	{{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
78	78	{{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
79	79	Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
	45	+)))
80	80	{{/aufgabe}}
	47	+
	48	+{{aufgabe id="Polynomfunktionen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
	49	+Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an Graphen an der Stelle //x = 0// ist.
	50	+{{/aufgabe}}
	51	+
	52	+{{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
	53	+Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
	54	+Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
	55	+[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	56	+(%class=abc%)
	57	+1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten {{formula}}t{{/formula}} an.
	58	+1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
	59	+{{/aufgabe}}
	60	+
	61	+{{aufgabe id="Funtkion gesucht" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11" tags="problemlösen"}}
	62	+Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle //x = 2// die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
	63	+(%class=abc%)
	64	+1. Nutze eine transformierte Potenzfunktion
	65	+1. Nutze eine Exponentialfunktion
	66	+{{/aufgabe}}
	67	+
	68	+{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}