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Änderungen von Dokument BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/07/29 16:37
Von Version 45.1
bearbeitet von Nila Nurschams
am 2026/02/27 11:15
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bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/07/29 16:37
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.nilanurschams
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -1,6 +1,10 @@
1 1  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
2 2  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist
3 3  
4 +{{aufgabe id="Tangentengleichung der Merkhilfe aus Punkt-Steigungsform der Geraden herleiten" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
5 +Zeige: Die in der Merkhilfe angegebene Tangentengleichung {{formula}}y=f'(u)(x-u)+f(u){{/formula}} geht durch geeignete Umformung aus der Punkt-Steigungsform der Geraden {{formula}}y = m(x − x_P) + y_P{{/formula}} hervor.
6 +{{/aufgabe}}
7 +
4 4  {{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
5 5  Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
6 6  (%class=abc%)
... ... @@ -23,21 +23,21 @@
23 23  Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
24 24  (%class=abc%)
25 25  1. (((
26 -{{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
27 -{{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
28 -{{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
30 +{{formula}}h(x)=\cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
31 +{{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-\sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} \sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
32 +{{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
29 29  {{formula}}h(6)=1{{/formula}}
30 30  Punkt-Steigungsform der Tangentengleichung:
31 -{{formula}}y=h´(u)(x-u)+h(u){{/formula}}
32 -{{formula}}y=h´(6)(x-6)+h(6){{/formula}}
35 +{{formula}}y=h'(u)(x-u)+h(u){{/formula}}
36 +{{formula}}y=h'(6)(x-6)+h(6){{/formula}}
33 33  {{formula}}y=\frac{\pi}{4}(x-6)+1{{/formula}}
34 34  )))
35 35  1. (((
36 36  {{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
37 -{{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
38 -{{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
41 +{{formula}}-\frac{\pi}{4} \sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
42 +{{formula}}\sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
39 39  Substituiere:{{formula}}\frac{\pi}{4}x=u{{/formula}}
40 -{{formula}}sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
44 +{{formula}}\sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
41 41  {{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
42 42  {{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
43 43  Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
... ... @@ -45,20 +45,31 @@
45 45  {{/aufgabe}}
46 46  
47 47  {{aufgabe id="Polynomfunktionen" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
48 -Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an den Graphen an der Stelle //x = 0// ist.
52 +Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an den Graphen an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} ist.
49 49  {{/aufgabe}}
50 50  
51 51  {{aufgabe id="Funktion gesucht" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11" tags="problemlösen"}}
52 -Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle //x = 2// die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
56 +Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle {{formula}}x = 2{{/formula}} die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
53 53  {{/aufgabe}}
54 54  
55 -{{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb"}}
59 +{{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb"}}
56 56  Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
57 57  Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
58 58  [[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
59 59  (%class=abc%)
60 60  1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten {{formula}}t{{/formula}} an.
61 -1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
65 +1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}S\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
62 62  {{/aufgabe}}
63 63  
64 -{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="5"/}}
68 +{{aufgabe id="Tangentengleichung graphisch" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K6" quelle="Droste, Egenter, Sommerfeld" zeit="15"}}
69 +Gegeben sind das Schaubild {{formula}}K_f{{/formula}} einer Funktion f und das Schaubild {{formula}}K_{f'}{{/formula}} ihrer Ableitungsfunktion {{formula}}f'{{/formula}}.
70 +(% class="noborder" %)
71 +|[[image:graph_f.png||heigth="300" style="display:block";margin-left:auto"]]|[[image:graph_f_strich.png||heigth="300" style="display";margin-right:auto"]]
72 +
73 +(%class=abc%)
74 + 1. Bestimme die Gleichung der Tangente an {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x = 2{{/formula}}, ohne diese einzuzeichnen. Erläutere dein Vorgehen.
75 + 1. Bestimme alle möglichen Werte für den y-Achsenabschnitt einer beliebigen Tangente an {{formula}}K_f{{/formula}}.
76 + 1. Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: y = mx{{/formula}}. Ermittele (näherungsweise) alle möglichen Werte von {{formula}}m{{/formula}}, für die es zwei Tangente an {{formula}}K_f{{/formula}} gibt, die parallel zu {{formula}}g{{/formula}} sind.
77 +{{/aufgabe}}
78 +
79 +{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
graph_f.png
Author
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1 +XWiki.som
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