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Änderungen von Dokument BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

Zuletzt geändert von Johannes Sommerfeld am 2026/05/12 15:58
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bearbeitet von Johannes Sommerfeld
am 2026/05/12 13:45
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.som
1 +XWiki.martinstern
Inhalt
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1 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen {{niveau}}g{{/niveau}}
2 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist {{niveau}}g{{/niveau}}
1 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
2 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist
3 3  
4 -{{aufgabe id="Tangentengleichung der Merkhilfe aus Punkt-Steigungsform der Geraden herleiten" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
5 -Zeige: Die in der Merkhilfe angegebene Tangentengleichung {{formula}}y=f´(u)(x-u)+f(u){{/formula}} geht durch geeignete Umformung aus der Punkt-Steigungsform der Geraden {{formula}}y = m(x − x_P) + y_P{{/formula}} hervor.
6 -{{/aufgabe}}
4 +{{aufgabe id="Tangente Funktionsschar" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
7 7  
8 -{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
9 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
10 -(%class=abc%)
11 -1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
12 -1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
13 -{{/aufgabe}}
6 +Gegeben ist für jede positive reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f_a{{/formula}} mit {{formula}}f_a\left(x\right)=a\cdot x^2{{/formula}}. Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f_\frac{1}{2}{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f_\frac{1}{2}\left(4\right)\right){{/formula}}.
7 +[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="float: right"]]
8 +1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
9 +1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f_a{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f_a\left(u\right)\right){{/formula}} die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f_a\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
10 +
14 14  
15 -{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="15" tags="" cc="by"}}
16 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
17 -(%class=abc%)
18 -1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
19 -1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
20 -1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
21 -1. Zeige: Alle Tangenten an {{formula}}K_f{{/formula}} haben negative Steigung.
22 -{{/aufgabe}}
12 +
13 +
14 +
15 +
16 +
17 +
18 +__Hinweis__:
19 +Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.
23 23  
24 -{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt III" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" zeit="12" niveau="" tags="" cc="by"}}
21 +**Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel**:
22 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
23 +Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
24 +[[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
25 25  
26 -Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
27 -Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
28 -(%class=abc%)
29 -1. (((
30 -{{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
31 -{{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
32 -{{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
33 -{{formula}}h(6)=1{{/formula}}
34 -Punkt-Steigungsform der Tangentengleichung:
35 -{{formula}}y=h´(u)(x-u)+h(u){{/formula}}
36 -{{formula}}y=h´(6)(x-6)+h(6){{/formula}}
37 -{{formula}}y=\frac{\pi}{4}(x-6)+1{{/formula}}
38 -)))
39 -1. (((
40 -{{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
41 -{{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
42 -{{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
43 -Substituiere:{{formula}}\frac{\pi}{4}x=u{{/formula}}
44 -{{formula}}sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
45 -{{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
46 -{{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
47 -Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
48 -)))
26 +1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
27 +1. Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} wird in //y//-Richtung gestreckt; dabei entsteht der Graph der transformierten Funktion {{formula}}g{{/formula}}.
28 +Weise nach, dass unabhängig vom Streckungsfaktor für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die an den gestreckten Graphen im Punkt {{formula}}\left(u\middle| g\left(u\right)\right){{/formula}} angelegte Tangente die //y//-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-g\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
49 49  {{/aufgabe}}
50 50  
51 -{{aufgabe id="Polynomfunktionen" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
52 -Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an den Graphen an der Stelle //x = 0// ist.
53 -{{/aufgabe}}
54 -
55 -{{aufgabe id="Funktion gesucht" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11" tags="problemlösen"}}
56 -Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle //x = 2// die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
57 -{{/aufgabe}}
58 -
59 -{{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="3" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb"}}
60 -Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
31 +{{aufgabe id="Tangente und Berührpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
32 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
61 61  Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
62 62  [[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
63 -(%class=abc%)
64 -1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten {{formula}}t{{/formula}} an.
65 -1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}S\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
35 +
36 +1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an.
37 +1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 -{{aufgabe id="Tangentengleichung_grafisch" afb="2" kompetenzen="K4;K6" quelle="Droste, Egenter, Sommerfeld" zeit="5"}}
69 - Gegeben sind die beiden Schaubilder der Funktion f und deren Ableitung f´. Bestimme die Gleichung der Tangente an Kf an der Stelle x=2.
70 - [[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
71 -
40 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
41 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
42 +
43 +1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
44 +1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
72 72  {{/aufgabe}}
73 73  
74 -{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
47 +{{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" tags="" cc="by"}}
48 +Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
49 +
50 +1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
51 +1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
52 +1. Zeige: Alle Tangenten an {{formula}}K_f{{/formula}} haben negative Steigung.
53 +{{/aufgabe}}
Exponentialfunktion.ggb
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Exponentialfunktion.png
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1 -XWiki.martinstern
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Exponentialfunktion.svg
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1 -XWiki.dirktebbe
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