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BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

Version 12.1 von akukin am 2024/10/10 16:04

K5 Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
K5 Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl a die in \mathbb{R} definierte Funktion f_a mit f_a\left(x\right)=a\cdot x^2. Die Abbildung zeigt den Graphen von f_\frac{1}{2} sowie die Tangente t an den Graphen von f_\frac{1}{2} im Punkt \left(4\middle| f_\frac{1}{2}\left(4\right)\right).
Tangentefunktionsschar.png

  1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente t an.
  2. Weise nach, dass für jeden Wert u\in\mathbb{R} die Tangente an den Graphen von f_a im Punkt \left(u\middle| f_a\left(u\right)\right) die y-Achse im Punkt \left(0\middle|-f_a\left(u\right)\right) schneidet.
      

  

 
 
 
 
Hinweis:
Der Begriff „Schar“ beziehungsweise „Funktionsschar“ ist nicht konform zum Bildungsplan für berufliche Gymnasien in Baden-Württemberg. Deswegen wäre eine derartige Aufgabe für die Abiturprüfung an beruflichen Gymnasien nicht zulässig.

Eine bildungsplankonforme Variante wäre zum Beispiel:
Gegeben ist die in \mathbb{R} definierte Funktionf mit f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2. Die Abbildung zeigt den Graphen von f sowie die Tangente t an den Graphen von f im Punkt \left(4\middle| f\left(4\right)\right).
Tangentefunktionsschar.png

  1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente t an.
  2. Der Graph von f wird in y-Richtung gestreckt; dabei entsteht der Graph der transformierten Funktion g.
    Weise nach, dass unabhängig vom Streckungsfaktor für jeden Wert u\in\mathbb{R} die an den gestreckten Graphen im Punkt \left(u\middle| g\left(u\right)\right) angelegte Tangente die y-Achse im Punkt \left(0\middle|-g\left(u\right)\right) schneidet.

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Quelle   IQB e.V.Lizenz   CC BY