BPE 12.5 Tangente in Kurvenpunkt

1  Tangentengleichung der Merkhilfe aus Punkt-Steigungsform der Geraden herleiten  (10 min) 𝕋 

Zeige: Die in der Merkhilfe angegebene Tangentengleichung \(y=f´(u)(x-u)+f(u)\) geht durch geeignete Umformung aus der Punkt-Steigungsform der Geraden \(y = m(x − x_P) + y_P\) hervor.

2  Tangente in einem Kurvenpunkt  (10 min) 𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x\).

1. Berechne die Gleichung der Tangente \(t\) an die Kurve \(K_f\) an der Stelle \(x=3\).
2. Begründe, dass die Gerade \(g\) mit \(g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}\) auch Tangente an die Kurve \(K_f\) ist.

3  Tangente in einem Kurvenpunkt II  (k. A.) 𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x\).

1. Zeichne \(K_f\) für \(-3\leq x\leq 3\) in ein Koordinatensystem ein.
2. Berechne die Gleichung der Tangente \(t\) in der Nullstelle der Funktion.
3. Begründe, dass die Gerade \(g\) mit \(y=4\) keine Tangente an die Kurve \(K_f\) ist.
4. Zeige: Alle Tangenten an \(K_f\) haben negative Steigung.

4  Tangente in einem Kurvenpunkt III  (12 min) 𝕃

Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung. 

1. \(h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1\)
   \(h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)\)
   \(h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}\)
   \(h(6)=1\)
   Punkt-Steigungsform der Tangentengleichung:
   \(y=h´(u)(x-u)+h(u)\)
   \(y=h´(6)(x-6)+h(6)\)
   \(y=\frac{\pi}{4}(x-6)+1\)

2. \(h'(x)=m\)
   \(-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2\)
   \(sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}\)
   Substituiere:\(\frac{\pi}{4}x=u\)
   \(sin(u)=-\frac{8}{\pi}\)
   \(-\frac{8}{\pi}<-1\)
   \(-\frac{8}{\pi}\) liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
   Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.

5  Polynomfunktionen  (5 min) 𝕃

Zeige, dass für alle Polynomfunktionen f der Form \(f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\) gilt, dass \(a_1 x + a_0\) eine Tangente an den Graphen an der Stelle x = 0 ist.

6  Funktion gesucht  (11 min) 𝕃

Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle x = 2 die Tangente \(g(x)=\frac12 x+1\) hat.

7  Tangente und Schnittpunkt  (15 min) 𝕃

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2\).
Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) sowie die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(\left(4\middle| f\left(4\right)\right)\).

1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten \(t\) an.
2. Weise nach, dass für jeden Wert \(u\in\mathbb{R}\) die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(\left(u\middle| f\left(u\right)\right)\) die y-Achse im Punkt \(S\left(0\middle|-f\left(u\right)\right)\) schneidet.