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Lösung Tangente Funktionsschar

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/03 17:18

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont y=4x-8
Erläuterung der Lösung
Es können zwei Punkte aus der Abbildung abgelesen werden, die auf der Geraden (Tangente) liegen, z. B. A\left(0\middle|-8\right) und B\left(2\middle|0\right).

Ansatz für eine Gerade: y=mx+b
Die Steigung der Geraden kann berechnet werden: m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{0-\left(-8\right)}{2-0}=4
Eine Punktprobe mit dem Punkt A liefert den y-Achsenabschnitt b=-8.

Folglich lautet die Geradengleichung y=4x-8

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont
Gleichung der Tangente: y=mx+n
f_a\left(u\right)=a\cdot u^2; \ m=f_a^\prime\left(u\right)=2a\cdot u
a\cdot u^2=2a\cdot u\cdot u+n \ \ \Leftrightarrow \ \ n=-a\cdot u^2, d. h. n=-f_a\left(u\right)
Erläuterung der Lösung
Ansatz für die transformierte Funktion g:
g\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot x^2, \ a>0

Bestimmung der Gleichung der Tangente an den Graphen von g im Punkt \left(u\middle| g\left(u\right)\right):
Allgemeine Tangentengleichung: y=g^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+g\left(u\right)
In unserem Fall: g^\prime\left(x\right)=a\cdot x \ \ \Leftrightarrow \ \ g^\prime\left(u\right)=a\cdot u g\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2
Eingesetzt in die Tangentengleichung:
y=a\cdot u\cdot\left(x-u\right)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2 y=a\cdot u\cdot x-a\cdot u^2+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2 y=a\cdot u\cdot x-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2

Folglich ist der y-Achsenabschnitt der Tangente -\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2, was – wie in der Aufgabe gefordert, -g\left(u\right) entspricht. Also geht die Tangente unabhängig von der Streckung auch immer durch den zweiten angegebenen Punkt \left(0\middle|-g\left(u\right)\right).