Lösung Tangente Funktionsschar
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/03 15:18
Teilaufgabe 1
Erwartungshorizont
\(y=4x-8\)Erläuterung der Lösung
Es können zwei Punkte aus der Abbildung abgelesen werden, die auf der Geraden (Tangente) liegen, z. B. \(A\left(0\middle|-8\right)\) und \(B\left(2\middle|0\right)\).
Ansatz für eine Gerade: \(y=mx+b\)
Die Steigung der Geraden kann berechnet werden: \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{0-\left(-8\right)}{2-0}=4\)
Eine Punktprobe mit dem Punkt \(A\) liefert den y-Achsenabschnitt \(b=-8\).
Folglich lautet die Geradengleichung \(y=4x-8\)
Teilaufgabe 2
Erwartungshorizont
Gleichung der Tangente: \(y=mx+n\)
\(f_a\left(u\right)=a\cdot u^2; \ m=f_a^\prime\left(u\right)=2a\cdot u\)
\(a\cdot u^2=2a\cdot u\cdot u+n \ \ \Leftrightarrow \ \ n=-a\cdot u^2, d. h. n=-f_a\left(u\right)\)
Erläuterung der Lösung
Ansatz für die transformierte Funktion \(g\):
\(g\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot x^2, \ a>0\)
Bestimmung der Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(\left(u\middle| g\left(u\right)\right)\):
Allgemeine Tangentengleichung: \(y=g^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+g\left(u\right)\)
In unserem Fall: \(g^\prime\left(x\right)=a\cdot x \ \ \Leftrightarrow \ \ g^\prime\left(u\right)=a\cdot u\) \(g\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2\)
Eingesetzt in die Tangentengleichung:
\(y=a\cdot u\cdot\left(x-u\right)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2\) \(y=a\cdot u\cdot x-a\cdot u^2+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2\) \(y=a\cdot u\cdot x-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2\)
Folglich ist der y-Achsenabschnitt der Tangente \(-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2\), was – wie in der Aufgabe gefordert, \(-g\left(u\right) \) entspricht. Also geht die Tangente unabhängig von der Streckung auch immer durch den zweiten angegebenen Punkt \(\left(0\middle|-g\left(u\right)\right)\).