Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/03 17:18
Zeige letzte Bearbeiter
1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}y=4x-8{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 <br>
9 Es können zwei Punkte aus der Abbildung abgelesen werden, die auf der Geraden (Tangente) liegen, z. B. {{formula}}A\left(0\middle|-8\right){{/formula}} und {{formula}}B\left(2\middle|0\right){{/formula}}.
10 <br>
11 <br>
12 Ansatz für eine Gerade: {{formula}}y=mx+b{{/formula}}
13 <br>
14 Die Steigung der Geraden kann berechnet werden:
15 {{formula}}m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{0-\left(-8\right)}{2-0}=4{{/formula}}
16 <br>
17 Eine Punktprobe mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}} liefert den //y//-Achsenabschnitt {{formula}}b=-8{{/formula}}.
18 <br>
19 <br>
20 Folglich lautet die Geradengleichung {{formula}}y=4x-8{{/formula}}
21
22 {{/detail}}
23
24 === Teilaufgabe 2 ===
25 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
26 <br>
27 Gleichung der Tangente: {{formula}}y=mx+n{{/formula}}
28 <br>
29 {{formula}}f_a\left(u\right)=a\cdot u^2; \ m=f_a^\prime\left(u\right)=2a\cdot u{{/formula}}
30 <br>
31 {{formula}}a\cdot u^2=2a\cdot u\cdot u+n \ \ \Leftrightarrow \ \ n=-a\cdot u^2, d. h. n=-f_a\left(u\right){{/formula}}
32
33 {{/detail}}
34
35
36 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
37 <br>
38 Ansatz für die transformierte Funktion {{formula}}g{{/formula}}:
39 <br>
40 {{formula}}g\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot x^2, \ a>0{{/formula}}
41 <br>
42 <br>
43 Bestimmung der Gleichung der Tangente an den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| g\left(u\right)\right){{/formula}}:
44 <br>
45 Allgemeine Tangentengleichung: {{formula}}y=g^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+g\left(u\right){{/formula}}
46 <br>
47 In unserem Fall:
48 {{formula}}g^\prime\left(x\right)=a\cdot x \ \ \Leftrightarrow \ \ g^\prime\left(u\right)=a\cdot u{{/formula}}
49 {{formula}}g\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
50 <br>
51
52 Eingesetzt in die Tangentengleichung:
53 <br>
54 {{formula}}y=a\cdot u\cdot\left(x-u\right)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
55 {{formula}}y=a\cdot u\cdot x-a\cdot u^2+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
56 {{formula}}y=a\cdot u\cdot x-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
57 <br>
58 <br>
59 Folglich ist der //y//-Achsenabschnitt der Tangente {{formula}}-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}, was – wie in der Aufgabe gefordert, {{formula}}-g\left(u\right) {{/formula}} entspricht. Also geht die Tangente unabhängig von der Streckung auch immer durch den zweiten angegebenen Punkt {{formula}}\left(0\middle|-g\left(u\right)\right){{/formula}}.
60 {{/detail}}