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Version 1.1 von akukin am 2024/10/03 17:13
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1 === Teilaufgabe 1 ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}y=4x-8{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Es können zwei Punkte aus der Abbildung abgelesen werden, die auf der Geraden (Tangente) liegen, z. B. {{formula}}A\left(0\middle|-8\right){{/formula}} und {{formula}}B\left(2\middle|0\right){{/formula}}.
9 <br>
10 Ansatz für eine Gerade: {{formula}}y=mx+b{{/formula}}
11 <br>
12 Die Steigung der Geraden kann berechnet werden:
13 {{formula}}m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{0-\left(-8\right)}{2-0}=4{{/formula}}
14 <br>
15 Eine Punktprobe mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}} liefert den //y//-Achsenabschnitt {{formula}}b=-8{{/formula}}.
16 <br>
17 Folglich lautet die Geradengleichung {{formula}}y=4x-8{{/formula}}
18
19 {{/detail}}
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21 === Teilaufgabe 2 ===
22 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
23 Gleichung der Tangente: {{formula}}y=mx+n{{/formula}}
24 <br>
25 {{formula}}f_a\left(u\right)=a\cdot u^2; \ m=f_a^\prime\left(u\right)=2a\cdot u{{/formula}}
26 <br>
27 {{formula}}a\cdot u^2=2a\cdot u\cdot u+n \ \ \Leftrightarrow \ \ n=-a\cdot u^2, d. h. n=-f_a\left(u\right){{/formula}}
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29 {{/detail}}
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32 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
33 Ansatz für die transformierte Funktion {{formula}}g{{/formula}}:
34 <br>
35 {{formula}}g\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot x^2, \ a>0{{/formula}}
36 <br>
37 Bestimmung der Gleichung der Tangente an den Graphen von {{formula}}g{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| g\left(u\right)\right){{/formula}}:
38 <br>
39 Allgemeine Tangentengleichung: {{formula}}y=g^\prime\left(u\right)\cdot\left(x-u\right)+g\left(u\right){{/formula}}
40 <br>
41 In unserem Fall:
42 {{formula}}g^\prime\left(x\right)=a\cdot x \ \ \Leftrightarrow \ \ g^\prime\left(u\right)=a\cdot u{{/formula}}
43 {{formula}}g\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
44 <br>
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46 Eingesetzt in die Tangentengleichung:
47 <br>
48 {{formula}}y=a\cdot u\cdot\left(x-u\right)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
49 {{formula}}y=a\cdot u\cdot x-a\cdot u^2+\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
50 {{formula}}y=a\cdot u\cdot x-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}
51 <br>
52 Folglich ist der //y//-Achsenabschnitt der Tangente {{formula}}-\frac{1}{2}\cdot a\cdot u^2{{/formula}}, was – wie in der Aufgabe gefordert, {{formula}}-g\left(u\right) {{/formula}} entspricht. Also geht die Tangente unabhängig von der Streckung auch immer durch den zweiten angegebenen Punkt {{formula}}\left(0\middle|-g\left(u\right)\right){{/formula}}.
53 {{/detail}}