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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/01/08 11:22
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Holger Engels 1.1 1 Gib die Monotoniebereiche der Funktionen {{formula}}f(x){{/formula}} an:
2 (%class=abc%)
3 1. ((({{formula}}f(x)=\frac{1}{8}(\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-50x+32)~\Rightarrow f'(x)=\frac18(x^2+5x-50){{/formula}}
4
5 {{formula}}
Holger Engels 2.1 6 \begin{align*}
Holger Engels 1.1 7 f'(x) = 0 \\
8 \frac18(x^2+5x-50) = 0\\
9 x^2+5x-50=0\\
10 x_1=-10;~x_2=5
Holger Engels 2.1 11 \end{align*}
Holger Engels 1.1 12 {{/formula}}
13
Holger Engels 2.1 14 Aufgrund des Verlaufs von III nach I und der Tatsache, dass es zwei einfache NS (mit VZW) in der ersten Ableitung gibt, kann man folgern, dass es erst rauf, dann runter und schließlich wieder rauf geht. Dann sind die Monotoniebereiche:
Holger Engels 1.1 15 * streng monoton steigend für {{formula}}x\leq-10{{/formula}}
16 * streng monoton fallend für {{formula}}-10 \leq x \leq 5{{/formula}}
17 * streng monoton steigend für {{formula}}x \geq 5{{/formula}}
18 )))
19 1. ((({{formula}}g(x)=e^{(2x+1)}(x-1)~\Rightarrow g'(x)=2xe^{2x+1}-e^{2x+1} = e^{2x+1}(2x-1){{/formula}}
20
21 {{formula}}
Holger Engels 2.1 22 \begin{align*}
Holger Engels 1.1 23 g'(x) = 0 \\
24 e^{2x+1}(2x-1) = 0\\
25 2x-1=0\\
26 x=\frac12
Holger Engels 2.1 27 \end{align*}
Holger Engels 1.1 28 {{/formula}}
29
30 Die Ableitungsfunktion hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei {{formula}}x=\frac12{{/formula}}. Indem man beispielsweise //0//, einen Wert links davon und //1//, einen Wert rechts davon einsetzt, kann man feststellen, dass es an dieser NS einen VZW von Minus nach Plus gibt:
31 {{formula}}g'(0)=e^1\cdot(-1) < 0{{/formula}}
32 {{formula}}g'(1)=e^3\cdot(1) > 0{{/formula}}
Holger Engels 2.1 33
Holger Engels 1.1 34 Dann sind die Monotoniebereiche:
35 * streng monoton fallend für {{formula}}x\leq\frac12{{/formula}}
36 * streng monoton steigend für {{formula}}x \geq \frac12{{/formula}}
37 )))
Holger Engels 2.1 38 1. ((({{formula}}h(x)=ae^{(-x-5)}x^2 \Rightarrow h'(x)=a e^{-x-5}(-x^2+2x){{/formula}}
39
40 {{formula}}
41 \begin{align*}
42 h'(x) = 0 \\
43 a e^{-x-5}(-x^2+2x) = 0\\
44 -x^2+2x=0\\
45 x_1 = 0; x_2 = 2
46 \end{align*}
47 {{/formula}}
48
49 Um das Monotonieverhalten festzustellen, setzt man am besten 3 Stellen (links von, zwischen, rechts von den NS) in die Ableitungsfunktion ein:
50 {{formula}}h'(-1) \approx -1,10 a < 0{{/formula}}
51 {{formula}}h'(1) \approx 0,05 a > 0{{/formula}}
52 {{formula}}h'(3) \approx -0,02 a < 0{{/formula}}
53
54 Dann sind die Monotoniebereiche für positive //a//:
55 * streng monoton fallend für {{formula}}x\leq 0{{/formula}}
56 * streng monoton steigend für {{formula}}0 \leq x \leq 2{{/formula}}
57 * streng monoton fallend für {{formula}}x\geq 2{{/formula}}
58
59 Für negative //a// wird der Graph an der x-Achse gespiegelt. Die Monotonintervalle sind dann die gleichen, jedoch geht es jetzt dort rauf, wo es vorher runter ging und umgekehrt.
Holger Engels 1.1 60 )))