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Wiki-Quellcode von BPE 13 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/19 13:43
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Holger Engels 6.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Holger Engels 8.1 3 {{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" kompetenzen="K2, K5" niveau="p" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="40"}}
Holger Engels 1.1 4 Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
5
6 Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
7
8 Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
9
10 [[image:x hoch minus 2.png]]
11 {{/aufgabe}}
Holger Engels 3.1 12
Holger Engels 7.1 13 {{aufgabe id="Annäherung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
Holger Engels 3.1 14 [[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
15
16 (% style="list-style: alphastyle" %)
17 1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//.
18 1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
19
20 {{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}}
21
22 ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist.
23 )))
24 1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.
25
26 (Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
27 {{/aufgabe}}
Holger Engels 6.1 28
akukin 49.1 29 {{aufgabe id="Steigung, Volumen" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_10.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 11.1 30 [[image:GraphSteigungVolumen.PNG||width="170" style="float: right"]]
31 Die Abbildung zeigt den Graphen einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}}.
32 1. Beurteile die folgende Aussage:
33 //Für jeden Wert von {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}0\leq x\leq 2{{/formula}} ist die Steigung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} kleiner als 3.//
34 1. Mit dem Term {{formula}}\pi\cdot\int\limits_{0}^{2}{\left(f\left(x\right)\right)^2\mathrm{d} x}{{/formula}}
35 kann das Volumen eines Körpers berechnet werden.
36 Begründe, dass dieses Volumen größer als {{formula}}\pi\cdot{0,5}^2+\pi\cdot1^2{{/formula}} ist.
37 {{/aufgabe}}
38
akukin 49.1 39 {{aufgabe id="Stau MMS" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_6.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 33.1 40 1. Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.
akukin 32.1 41 An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x\cdot\left(8-5x\right)\cdot\left(1-\frac{x}{4}\right)^2{{/formula}} beschrieben werden. Dabei gibt {{formula}}x{{/formula}} die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und {{formula}}f\left(x\right){{/formula}} die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.
akukin 33.4 42
akukin 33.1 43 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 33.3 44 1. Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von f, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.
45 1. Es gilt {{formula}}f\left(2\right)<0{{/formula}}. Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.
46 1. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. Zeige, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate zwischen 2 km/h und 3 km/h liegt.
47 1. Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe deine Angabe.
akukin 12.1 48
akukin 13.1 49 Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion {{formula}}f{{/formula}} die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}s{{/formula}} mit {{formula}}s\left(x\right)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot\left(4-x\right)^3{{/formula}} von Bedeutung.
akukin 33.1 50 (% style="list-style: lower-alpha" start="5" %)
akukin 33.2 51 1. Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
akukin 14.2 52 //Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion {{formula}}s{{/formula}} angegeben werden.//
akukin 12.1 53 Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.
akukin 36.2 54 1. Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.
akukin 33.2 55 1. Bestimme denjenigen Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, zu dem
akukin 32.1 56 die Staulänge 0,5 km geringer ist als eine Stunde vorher.
akukin 44.1 57 [[image:Graphstau.png||width="250" style="float: right"]]
akukin 33.2 58 1. Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 1 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist //x// die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und //y// die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.
akukin 36.2 59 Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markiere diesen Zeitpunkt in der //Abbildung 1//, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der //Abbildung 1//.
akukin 12.1 60
akukin 33.1 61 (% style="list-style:" start="2" %)
62 1. Betrachtet wird die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}h_k{{/formula}} mit {{formula}}h_k\left(x\right)=\left(x-3\right)^k+1{{/formula}} und {{formula}}k\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}{{/formula}}.
akukin 33.4 63
akukin 33.1 64 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 33.4 65 1. Das Verhalten von {{formula}}h_k{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow-\infty{{/formula}} ist abhängig von {{formula}}k{{/formula}}. Gib die dabei auftretenden Fälle des Verhaltens und für diese Fälle jeweils einen passenden Wert von {{formula}}k{{/formula}} an. Begründe jeweils die Angabe des Werts von {{formula}}k{{/formula}}.
66 1. Ermittle die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.
67 1. Die erste Ableitungsfunktion von {{formula}}h_k{{/formula}} wird mit {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} bezeichnet. Beurteile die folgende Aussage:
akukin 15.1 68 //Es gibt genau einen Wert von {{formula}}k{{/formula}}, für den der Graph von {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} Tangente an den Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} ist.//
akukin 33.4 69 1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} und {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} werden in der Abbildung 2 für {{formula}}k=4{{/formula}} beispielhaft für gerade Werte von {{formula}}k{{/formula}} gezeigt, in der Abbildung 3 für {{formula}}k=5{{/formula}} beispielhaft für ungerade Werte von {{formula}}k{{/formula}}.
akukin 46.1 70 [[image:Stau2.PNG||width="320" style="float: left"]]
akukin 16.3 71
72
73
74
akukin 46.1 75
76
akukin 16.3 77
78
79
80
akukin 15.1 81 Für {{formula}}k\geq4{{/formula}} werden die Punkte {{formula}}P\left(4\middle| h_k\left(4\right)\right),Q\left(4\middle| h_k^\prime\left(4\right)\right),R\left(2\middle| h_k\left(2\right)\right){{/formula}} und {{formula}}S\left(2\middle| h_k^\prime\left(2\right)\right){{/formula}} betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist:
akukin 16.3 82 //Für jeden geraden Wert von von {{formula}}k{{/formula}} mit {{formula}}k\geq4{{/formula}} stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k{{/formula}} und der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k+1{{/formula}} überein.//
akukin 15.1 83 {{/aufgabe}}
akukin 16.2 84
akukin 35.2 85
akukin 49.1 86 {{aufgabe id="Stau WTR" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_6.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 36.3 87 1. [[image:Stauabb1.png||width="180" style="float: right"]]
akukin 35.2 88 Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.
89 An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit
90
91 {{formula}}
92 \begin{align*}
93 f\left(x\right)&=x\cdot\left(8-5x\right)\cdot\left(1-\frac{x}{4}\right)^2 \\
94 &=-\frac{4}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x
95 \end{align*}
96 {{/formula}}
97
98 beschrieben werden. Dabei gibt {{formula}}x{{/formula}} die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und {{formula}}f\left(x\right){{/formula}} die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.
99 Die //Abbildung 1// zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} für {{formula}}0\le x\le4{{/formula}}.
100 Für die erste Ableitungsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} gilt {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\left(5x^2-16x+8\right)\cdot\left(1-\frac{x}{4}\right){{/formula}}.
akukin 36.3 101 (% style="list-style: lower-alpha" %)
102 1. Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von {{formula}}f{{/formula}}, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.
akukin 35.2 103 1. Es gilt {{formula}}f\left(2\right)<0{{/formula}}. Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.
104 1. Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.
105 1. Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe deine Angabe.
106
akukin 36.3 107 Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion {{formula}}f{{/formula}} die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}s{{/formula}} mit {{formula}}s\left(x\right)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot\left(4-x\right)^3=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2{{/formula}} von Bedeutung.
akukin 35.2 108
akukin 48.1 109 (% style="list-style:lower-alpha" start="5" %)
akukin 35.2 110 1. Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
111 //Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion {{formula}}s{{/formula}} angegeben werden.//
112 Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.
113 1. Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.
114 [[image:Stauabb2.png||width="250" style="float: right"]]
115 1. Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der //Abbildung 2// gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist //x// die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und //y// die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.
116 Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markiere diesen Zeitpunkt in der //Abbildung 2//, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der //Abbildung 2//.
117
akukin 37.2 118 2. Betrachtet wird die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}h_k{{/formula}} mit {{formula}}h_k\left(x\right)=\left(x-3\right)^k+1{{/formula}} und {{formula}}k\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}{{/formula}}.
119 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 35.2 120 1. Gib in Abhängigkeit von {{formula}}k{{/formula}} das Verhalten von {{formula}}h_k{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow-\infty{{/formula}} an und begründe deine Angabe.
121 1. Ermittle die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.
122 1. Die erste Ableitungsfunktion von {{formula}}h_k{{/formula}} wird mit {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} bezeichnet. Beurteile die folgende Aussage:
123 //Es gibt genau einen Wert von {{formula}}k{{/formula}}, für den der Graph von {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} Tangente an den Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} ist.//
akukin 37.2 124 1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} und {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} werden in der //Abbildung 3// für {{formula}}k=4{{/formula}} beispielhaft für gerade Werte von {{formula}}k{{/formula}} gezeigt, in der //Abbildung 4// für {{formula}}k=5{{/formula}} beispielhaft für ungerade Werte von {{formula}}k{{/formula}}.
125 [[image:Stauabb3,4.png||width="320" style="float: left"]]
akukin 35.2 126
127
128
129
130
131
132
133
134 Für {{formula}}k\geq4{{/formula}} werden die Punkte {{formula}}P\left(4\middle| h_k\left(4\right)\right),Q\left(4\middle| h_k^\prime\left(4\right)\right),R\left(2\middle| h_k\left(2\right)\right){{/formula}} und {{formula}}S\left(2\middle| h_k^\prime\left(2\right)\right){{/formula}} betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist:
135 //Für jeden geraden Wert von von {{formula}}k{{/formula}} mit {{formula}}k\geq4{{/formula}} stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k{{/formula}} und der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k+1{{/formula}} überein.//
136 {{/aufgabe}}
137
138
139
140
akukin 49.1 141 {{aufgabe id="Schalldruck1" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 20.1 142 [[image:Schalldruckabb1.png||width="230" style="float: right"]]
143 Gegeben ist die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a:\ x\mapsto e^x\cdot\left(x-a\right)^2{{/formula}} mit {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}}. Der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} wird mit {{formula}}G_a{{/formula}} bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die //Abbildung 1// zeigt {{formula}}G_\frac{3}{2}{{/formula}}.
144
akukin 17.1 145 1. {{formula}}G_\frac{3}{2}{{/formula}} nimmt in einem seiner Wendepunkte seine kleinste Steigung an. Bestimme diese Steigung rechnerisch.
146 1. {{formula}}G_a{{/formula}} hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt. Gib die Koordinaten dieser Punkte an und begründe, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt von {{formula}}G_a{{/formula}} ist.
147 1. Es gibt einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den {{formula}}G_a{{/formula}} und die Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließen. Bestimme diesen Wert von {{formula}}a{{/formula}}.
148 1. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} mit {{formula}}a\neq0{{/formula}} schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte von {{formula}}G_a{{/formula}} mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne denjenigen Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.
akukin 20.1 149
akukin 21.1 150 Betrachtet werden die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_{a,b}:\ x\mapsto e^x\cdot\left(\left(x-a+b\right)^2-b\right){{/formula}} mit {{formula}}a,b\in\mathbb{R}{{/formula}}. Es gilt {{formula}}f_{a,0}\left(x\right)=f_a\left(x\right){{/formula}}. Der Graph von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}}wird mit {{formula}}G_{a,b}{{/formula}} bezeichnet.
151 (% style="list-style:" start="5" %)
152 1. Für positive Werte von {{formula}}b{{/formula}} hat {{formula}}G_{a,b}{{/formula}} zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} wird der Abstand dieser beiden Schnittpunkte betrachtet. Zeige rechnerisch, dass dieser Abstand unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist.
akukin 17.1 153
154 Erhöht man im Term von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}} den Wert von {{formula}}b{{/formula}} um 1, so erhält man einen Term der ersten Ableitungsfunktion von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}}. Es gilt also {{formula}}f_{a,b}^\prime\left(x\right)=f_{a,b+1}\left(x\right){{/formula}}.
akukin 21.1 155 (% style="list-style:" start="6" %)
156 1. Die //Abbildung 2// zeigt für einen bestimmten Wert von {{formula}}a{{/formula}} die Graphen zweier Funktionen der Schar, bei denen sich die Werte von {{formula}}b{{/formula}} um 1 unterscheiden. Entscheide, welcher der beiden Graphen I und II zum größeren Wert von {{formula}}b{{/formula}} gehört, und begründe deine Entscheidung.
akukin 20.1 157 [[image:Schalldruckabb2.png||width="180" style="float: left"]]
akukin 17.1 158
akukin 20.1 159
160
161
162
163
164
165
akukin 47.2 166
167
akukin 21.1 168 (% style="list-style:" start="7" %)
169 1. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} gilt {{formula}}f_{a,0}\left(a\right)=0\ \land\ f_{a,1}\left(a\right)=0\ \land\ f_{a,2}\left(a\right)\neq0{{/formula}}. Gib die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Funktion {{formula}}f_{a,-1}{{/formula}} an.
akukin 17.1 170
171 {{/aufgabe}}
172
akukin 49.1 173 {{aufgabe id="Schalldruck2" afb="II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 23.1 174 Der Schalldruckpegel eines bestimmten Wecktons wird durch die in {{formula}}\left[0;4\right]{{/formula}} definierte Funktion
akukin 23.2 175
176 {{formula}}
177 h: x\mapsto
178 \begin{cases}
akukin 23.5 179 20 \cdot \sin(x) \ &\text{für} \ 0 \leq x \leq 2 \\
180 20 \cdot \sin(x-2) +20 \cdot \sin(2) \ &\text{für} \ 2<x\leq 4
akukin 23.2 181 \end{cases}
182 {{/formula}}
183
akukin 23.4 184 beschrieben. Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden und {{formula}}h\left(x\right){{/formula}} der Schalldruckpegel in Dezibel (dB). Die //Abbildung 3// zeigt einen Teil des Graphen von {{formula}}h{{/formula}}.
akukin 23.2 185 [[image:Schalldruckabb3.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
186 1. Zeige, dass der Graph von {{formula}}h{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} keinen Sprung aufweist, und vervollständige den Graphen von {{formula}}h{{/formula}} in der //Abbildung 3//.
akukin 23.1 187 1. Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat, und gib diesen Schalldruckpegel an.
188 1. Berechne unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von {{formula}}h{{/formula}}.
akukin 23.6 189 //Der durchschnittliche Funktionswert von {{formula}}h{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[a;b\right]{{/formula}} stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:
190 • Das Rechteck hat die Breite {{formula}}b-a{{/formula}}.
191 • Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für {{formula}}a\le x\le b{{/formula}} zwischen dem Graphen von {{formula}}h{{/formula}} und der x-Achse liegt. //
akukin 23.2 192 (% style="list-style:" start="4" %)
akukin 23.5 193 1. Dem Graphen von {{formula}}h{{/formula}} ist zu entnehmen, dass der Weckton bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand. Bestimme rechnerisch den größten dieser Abstände.
akukin 23.1 194
195 {{/aufgabe}}
196
akukin 49.1 197 {{aufgabe id="Hängebrücke" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 24.2 198 Die //Abbildung 1// zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400 m. Die Wasseroberfläche liegt 20 m unterhalt der Fahrbahn.
akukin 28.1 199 [[image:Hängebrücke.PNG||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 24.2 200 Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.
201 Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 10 m in der Realität.
202 In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.
203 1. Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch
204 den Funktionsterm {{formula}}r(x)=\frac{253}{100}\cdot \left(e^{\frac{1}{11}\cdot (32-x)}-1 \right){{/formula}} beschrieben.
akukin 24.3 205 (% style="list-style: lower-alpha" %)
206 1*. Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m lang ist.
207 1*. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden. Gib einen passenden Term {{formula}}l(x){{/formula}} sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt.
208 1*. Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche.
209 1*. Berechne die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft
210 1*. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Berechne dessen Inhalt in der Realität.
211 1. Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Man hat sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von 16 m.
212 Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm {{formula}}s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^6\cdot \left(x^4+2560x^2\right)+\frac{125}{256}{{/formula}} beschrieben.
213 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 25.3 214 1*. Begründe, dass der Term von {{formula}}s{{/formula}} damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.
akukin 24.3 215 1*. Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von 40 m und einen Höhenunterschied von 5 m. Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist.
216 1*. Gib die Bedeutung des Terms {{formula}}\left(\sum\limits_{k=1}^{24}s(-20+1,6\cdot k)\right)\cdot 10{{/formula}} im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe.
akukin 25.2 217 1*. Die Lösung der Gleichung {{formula}}\frac{s(x)-0}{x-20}\cdot s^\prime(x)=-1{{/formula}}ermöglicht die Berechnung eines Abstands im Sachzusammenhang. Gib an, um welchen Abstand es sich handelt, und begründe deine Angabe.
akukin 25.3 218 1*. [[image:KreisbogenHängebrücke.PNG||width="220" style="float: right"]]
219 Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt {{formula}}M\left(0|\frac{1699}{36}\right){{/formula}}, der durch die Punkte {{formula}}A\left(-20|5\right), B\left(20|5\right) \ \text{und} \ C\left(0|\frac{1}{2}\right){{/formula}} verläuft //(vgl. Abbildung 2)//. Berechne unter Verwendung des Kreisbogens die Länge des Tragseils.
akukin 24.2 220 {{/aufgabe}}
221
akukin 49.1 222 {{aufgabe id="Sinusgraph" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20erhoeht/2024_M_erhoeht_A_3.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 38.1 223 Die Abbildung zeigt den Graphen {{formula}}G_f{{/formula}} der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}{{/formula}}.
akukin 40.1 224 [[image:2sin(0,5x).png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 38.1 225 1. Beurteile mithilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals {{formula}}\int_{-2}^{8}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}{{/formula}} negativ ist.
226 1. Weise nach, dass folgende Aussage zutrifft:
227 Die Tangente an {{formula}}G_f{{/formula}} im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte {{formula}}\left(-1\middle|-1\right){{/formula}} und {{formula}}\left(1\middle|1\right){{/formula}}.
228
229 {{/aufgabe}}
230
akukin 52.1 231 {{aufgabe id="Grafisch Integralwert bestimmen" afb="" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 50.1 232 Die Abbildung zeigt den Graphen {{formula}}G_f{{/formula}} einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}}.
akukin 52.1 233 [[image:GraphGf.PNG||width="180" style="float: right"]]
akukin 50.1 234 1. Bestimme grafisch den Wert des Integrals
akukin 52.1 235 {{formula}}\int\limits_{-3}^{-1,5}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}{{/formula}}
236 1. Beschreibe, wie der Graph der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}u{{/formula}}mit {{formula}}u\left(x\right)=-f\left(x\right)+2{{/formula}} aus {{formula}}G_f{{/formula}} erzeugt werden kann. Gib die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von {{formula}}u{{/formula}} an.
akukin 50.1 237 {{/aufgabe}}
238
Holger Engels 6.1 239 {{seitenreflexion/}}