Änderungen von Dokument Lösung Annäherung

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-
2		-[[image:cos und pot.png||width="300" style="float: right"]] a) //a// wird in Abhängigkeit von //q// so gewählt, dass {{formula}} \frac{\pi}{2}{{/formula}} eine Nullstelle von //g// ist:
3		-
4		-{{formula}} g\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)=0 \Leftrightarrow 1 - a \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=0{{/formula}}.
5		-
6		-Auflösen nach //a// ergibt:
7		-
8		-{{formula}} a \cdot \bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q=1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^q}=\bigl(\frac{\pi}{2}\bigl)^{-q}=\bigl(\frac{2}{\pi}\bigl)^q{{/formula}}.
9		-
10		-b) Idee: Wenn //f// und //g// wie im Beispiel der Zeichnung keine Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann ist ein kleiner Flächeninhalt zwischen den Graphen ein gutes Maß für eine kleine Abweichung zwischen den Graphen.
11		-Wenn //f// und //g// hingegen einen oder mehrere Schnittpunkte in {{formula}}]0;\frac{\pi}{2}[{{/formula}} haben, dann müssen aufgrund der Schnittpunkte bei 0 und π/2 und aufgrund der Rechtskrümmung beider Graphen die Teilflächen zwischen den Kurven klein sein und auch dann liegt eine gute Annäherung vor.
12		-
13		-c) Das Integral muss in Abhängigkeit von q ausgerechnet werden und soll dann möglichst klein sein:
14		-
15		-{{formula}}
16		- \begin{align}
17		- & \int_0^{\pi/2}f(x)-g(x)dx \\
18		- &= \int_0^{\pi/2}\cos(x)-1+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\Bigl)^q x^q dx\\
19		- &= \int_0^{\pi/2}\cos(x)+ \Bigl(\frac{2}{\pi}\cdot x \Bigl)^q - 1 dx\\
20		- &= \Bigl[\sin(x) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\Bigl(\frac{2}{\pi}x\Bigl)^{q+1}-x\Bigl]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
21		- &= \sin\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigl) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1}\cdot 1^{q+1}- \frac{\pi}{2}-(\sin(0) + \frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} \cdot 0^{q+1}-0) \\
22		- &= 1 +\frac{\frac{\pi}{2}}{q+1} - \frac{\pi}{2} \\
23		- &= 1 + \frac{\pi}{2} \Bigl(\frac{1}{q+1}-1 \Bigl)
24		- \end{align}
25		-{{/formula}}
26		-
27		-Nullsetzen und Auflösen oder Wertetabelle mit WRT führt zu einer Nullstelle bei {{formula}} q= \frac{1}{1-\frac{2}{\pi}} -1 \approx 1,751 {{/formula}}.
28		-Für dieses //q// ist das Integral also gleich Null.
29		-
30		-**Bonus: **
31		-[[image:Bonusplot.png||width="500"]]
32		-
33		-Schnittstelle laut Geogebra: {{formula}} x_S \approx 0,87018353{{/formula}}
34		-
35		-{{formula}}\Bigl| \int_0^{0,78018353} f(x)-g(x) dx \Bigl| \approx 0,0066166 \Rightarrow A_{ges} = 0,01323321{{/formula}}
36		-
37		-Es folgt eine durchschnittliche Abweichung von {{formula}} \frac{A_{ges}}{\pi/2} \approx 0,0084245{{/formula}}
38		-

Bonusplot.png

Author

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1		-XWiki.akukin

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