Änderungen von Dokument Lösung Schalldruck1

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Seiteneigenschaften

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1	1	1. {{formula}}f_{\frac{3}{2}}^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+x-\frac{7}{4}\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt2{{/formula}}
2	2	In der Abbildung ist zu erkennen, dass der Graph bei der ersten Wendestelle eine positive Steigung hat und bei der zweiten Wendestelle eine negative Steigung. Folglich ist die gesuchte kleinste Steigung:
3		-{{formula}}f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x_2\right)\approx-2,0668{{/formula}}
4		-1. {{formula}}f_a\left(0\right)=a^2\ \ \Rightarrow\ \ \ S_y\left(0\middle| a^2\right){{/formula}} ist Schnittpunkt mit der y-Achse.
5		-{{formula}}f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=a\ \ \ \Rightarrow\ \ \ S_x\left(a\middle|0\right){{/formula}} ist (einziger) Schnittpunkt mit der x-Achse.
	3	+{{formula}}f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\ \ \Rightarrow\ \ f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x_2\right)\approx-2,0668{{/formula}}
	4	+1. {{formula}}f_a\left(0\right)=a^2 \ \Rightarrow\ S_y\left(0\middle| a^2\right){{/formula}} ist Schnittpunkt mit der y-Achse.
	5	+{{formula}}f_a\left(x\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\ \ \ \Rightarrow\ \ \ S_x\left(a\middle|0\right){{/formula}} ist (einziger) Schnittpunkt mit der x-Achse.
6	6	{{formula}}f_a^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+\left(4-2a\right)x+a^2-2-4a\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_a^{\prime\prime}\left(a\right)=e^a\cdot\left(a^2+4a-2a^2+a^2-2-4a\right)=-2\cdot e^a<0{{/formula}}
7	7	Da {{formula}}x=a{{/formula}} eine doppelte Nullstelle ist, an der der Graph rechtsgekrümmt ist, liegt dort der Tiefpunkt.
8	8	1. {{formula}}A\left(a\right)=\int_{0}^{a}{f_a\left(x\right)\mathrm{d} x}=\left[e^x\cdot\left(x^2+\left(-2-2a\right)x+a^2+2a+2\right)\right]_0^a=2e^a-\left(a^2+2a+2\right){{/formula}}
9	9	{{formula}}A\left(a\right)=3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2e^a=a^2+2a+5\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\approx1,7588{{/formula}}
	10	+1. Hochpunkt: {{formula}}f_a^\prime\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+\left(2-2a\right)x+\left(a^2-2a\right)\right)=0{{/formula}}
	11	+{{formula}}x_{1,2}=a-1\pm\sqrt{\left(a-1\right)^2-a^2+2a}=a-1\pm1{{/formula}}
	12	+Da {{formula}}x_1=a{{/formula}} die Tiefstelle ist (siehe Teilaufgabe b), ist {{formula}}x_2=a-2{{/formula}} die zweite Extremstelle.
	13	+{{formula}}f_a\left(a-2\right)=e^{a-2}\cdot\left(\left(a-2\right)^2+\left(2-2a\right)\left(a-2\right)+\left(a^2-2a\right)\right)=4e^{a-2}{{/formula}}
10	10
	15	+Gerade durch {{formula}}H\left(a-2\middle|4e^{a-2}\right){{/formula}} und {{formula}}S_x\left(a\middle|0\right): \ \ y=\frac{4e^{a-2}}{-2}x+c{{/formula}}
11	11
	17	+Die Steigung muss -1 sein, damit das gesuchte Dreieck gleichschenklig ist:
	18	+{{formula}}-2e^{a-2}=-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=\ln{\left(\frac{1}{2}\right)}+2=2-\ln{\left(2\right)}\approx1,3069{{/formula}}
	19	+1. {{formula}}f_{a,b}\left(x\right)=e^x\cdot\left(\left(x-a+b\right)^2-b\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_{1,2}=a-b\pm\sqrt b{{/formula}}
	20	+Abstand {{formula}}d=x_1-x_2=2\sqrt b{{/formula}} ist unabhängig von {{formula}}a{{/formula}}.
	21	+1. Da der Graph I die Merkmale der Ableitungsfunktion von Graph II aufweist (z.B. Graph I ist über der x-Achse, wenn Graph II steigt), ist der Wert von {{formula}}b{{/formula}} von Graph I um 1 größer als der Wert von {{formula}}b{{/formula}} von Graph II.
	22	+1. Da bezüglich {{formula}}f_{a,-1}{{/formula}} der Wert {{formula}}f_{a,0}\left(a\right){{/formula}} die erste Ableitung an der Stelle {{formula}}a{{/formula}} darstellt und {{formula}}f_{a,1}\left(a\right){{/formula}} die zweite Ableitung und {{formula}}f_{a,2}\left(a\right){{/formula}} die dritte Ableitung, kann man umformulieren:
	23	+{{formula}}f_{a,-1}^\prime\left(a\right)=0\ \ \land\ \ f_{a,-1}^{\prime\prime}\left(a\right)=0\ \ \land\ \ f_{a,2}\left(a\right)\neq0{{/formula}}
	24	+Somit handelt es sich bei der Stelle {{formula}}a{{/formula}} um eine Sattelstelle des Graphen von {{formula}}f_{a,-1}{{/formula}}.