Wiki-Quellcode von Lösung Schalldruck1
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | 1. {{formula}}f_{\frac{3}{2}}^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+x-\frac{7}{4}\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt2{{/formula}} | ||
| 2 | In der Abbildung ist zu erkennen, dass der Graph bei der ersten Wendestelle eine positive Steigung hat und bei der zweiten Wendestelle eine negative Steigung. Folglich ist die gesuchte kleinste Steigung: | ||
| 3 | {{formula}}f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2-x-\frac{3}{4}\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_{\frac{3}{2}}^\prime\left(x_2\right)\approx-2,0668{{/formula}} | ||
| 4 | 1. {{formula}}f_a\left(0\right)=a^2\ \ \Rightarrow\ \ \ S_y\left(0\middle| a^2\right){{/formula}} ist Schnittpunkt mit der y-Achse. | ||
| 5 | {{formula}}f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=a\ \ \ \Rightarrow\ \ \ S_x\left(a\middle|0\right){{/formula}} ist (einziger) Schnittpunkt mit der x-Achse. | ||
| 6 | {{formula}}f_a^{\prime\prime}\left(x\right)=e^x\cdot\left(x^2+\left(4-2a\right)x+a^2-2-4a\right)\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f_a^{\prime\prime}\left(a\right)=e^a\cdot\left(a^2+4a-2a^2+a^2-2-4a\right)=-2\cdot e^a<0{{/formula}} | ||
| 7 | Da {{formula}}x=a{{/formula}} eine doppelte Nullstelle ist, an der der Graph rechtsgekrümmt ist, liegt dort der Tiefpunkt. | ||
| 8 | 1. {{formula}}A\left(a\right)=\int_{0}^{a}{f_a\left(x\right)\mathrm{d} x}=\left[e^x\cdot\left(x^2+\left(-2-2a\right)x+a^2+2a+2\right)\right]_0^a=2e^a-\left(a^2+2a+2\right){{/formula}} | ||
| 9 | {{formula}}A\left(a\right)=3\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2e^a=a^2+2a+5\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\approx1,7588{{/formula}} |