1.
- \(x_1=0;x_2=\frac{8}{5};x_3=4\) sind die einzigen Nullstellen von \(f\), denn der Funktionsterm ist in Produktform und hat drei Faktoren, die jeweils für diese Werte von \(x\) null werden.
Zeitpunkte: 6:00 Uhr; 7:36 Uhr; 10:00 Uhr - Um 8:00 Uhr nimmt die Länge des Staus ab.
- \( f^\prime\left(x\right)=\left(5x^2-16x+8\right)\cdot\left(1-\frac{x}{4}\right)\)
\(f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_1=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\sqrt{6} \approx 0,6202;\ \ x_2=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}\sqrt{6}\approx2,5798;\ \ x_3=4\)
\(f\left(0\right)=0;\ \ f\left(x_1\right)\approx2,169;\ \ f\left(x_2\right)\approx-1,593;\ \ f\left(x_3\right)=0\)
Damit nimmt die Staulänge etwa 0,6202 Stunden nach 06:00 Uhr, das heißt um 6:37 Uhr, am stärksten zu. Die Änderungsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,169 km/h. - Zwischen 6:00 Uhr und 7:36 Uhr verläuft der Graph von \(f\) über der x-Achse. Da die Staulänge das Integral über \(f\left(x\right)\) zwischen \(x=0\) und dem aktuellen Zeitpunkt ist, muss der Stau um 7:36 Uhr am längsten sein.
- Die Aussage ist richtig, wenn gilt, dass die Funktion \(s\) die Integralfunktion über \(f\left(t\right)\) mit der unteren Grenze \(t=0\) (6:00 Uhr) ist:
\(s\left(x\right)=\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\)
Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung besagt:
\(\left(\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\right)^\prime=f\left(x\right)\)
Also muss gelten: \(s^\prime\left(x\right)=f\left(x\right)\)
\(s\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+\ 4x^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ s^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f\left(x\right)\)
Zudem muss gelten: \(s\left(0\right)=0\)
Da beide Voraussetzungen erfüllt sind, gibt \(s\left(x\right)\) tatsächlich die Staulänge wieder.
Zudem gilt \(s\left(4\right)=0\), das heißt der Stau hat sich nach vier Stunden (um 10:00 Uhr) aufgelöst. - \(\bar{m}=\frac{1}{2-0,5}\cdot\int_{0,5}^{2}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\ \frac{1}{1,5}\cdot\left(s\left(2\right)-s\left(0,5\right)\right)=\frac{2}{3}\left(2-\frac{343}{512}\right)=\frac{227}{256}\approx0,8867\)
Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der x-Achse für \(1,5\le x\le a\) und \(a\le x\le b\) einschließt, müssen übereintimmen.
2.
- Die Graphen von \(h_k\) sind Parabeln k-ter Ordnung (im Falle von \(k=1\) eine Gerade), die um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben wurden.
Für gerade k gilt: \(x\rightarrow\pm\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty\)
Für ungerade k gilt: \(x\rightarrow\pm\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow\pm\infty\) - Alle Graphen beinhalten den Punkt \(S\left(3\middle|1\right)\) (Tiefpunkt für gerades k, Wendepunkt für ungerades k (Begründung: siehe Teilaufgabe 1.) und den Punkt \(P\left(4\middle|2\right)\), da alle ungestreckten Parabeln sich vom Tief- bzw. Wendepunkt aus gesehen 1 weiter rechts und 1 weiter oben noch einmal schneiden.
- Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur \(k=2\) in Frage, denn nur dann ist \(h_k^\prime\) eine Polynomfunktion 1. Grades.
Zu überprüfen ist noch, ob \(h_2^\prime\) eine Tangente an \(h_2\) beschreibt:
\(h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \Rightarrow\ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6\)
\(h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8x+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4\)
Also berühren sich die Graphen von \(h_2\) und \(h_2^\prime\) bei \(x=4\). - Diese Vierecke sind Trapeze, da \(Q\) und \(P\) bzw. \(R\) und \(S\) gleiche x-Koordinaten besitzen und damit \(\overline{QP}\) und \(\overline{RS}\) senkrecht verlaufen, also parallel zueinander sind.
Zur Aussage:
Da die x-Koordinaten sowieso gleich sind, haben die besagten Trapeze alle dieselbe Höhe. Es muss folglich nur noch gezeigt werden, dass für die parallelen Seiten gilt:
\[\begin{align*}
\frac{\overline{R_kS_k}+\overline{Q_kP_k}}{2}&=\frac{\overline{R_{k+1}S_{k+1}}+\overline{Q_{k+1}P_{k+1}}}{2} \\
\Leftrightarrow \quad \; h_k\left(2\right)-h_k^\prime\left(2\right)+h_k^\prime\left(4\right)-h_k\left(4\right) &=h_{k+1}^\prime\left(2\right)-h_{k+1}\left(2\right)+h_{k+1}^\prime\left(4\right)-h_{k+1}\left(4\right) \\
\Leftrightarrow \left(-1\right)^k+1-k\left(-1\right)^{k-1}+k-1-1 &=\left(k+1\right)\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}-1+k+1-1-1
\end{align*}\]
Da k gerade ist:
\[\begin{align*}
1+1+k+k-1-1 &=k+1+1-1+k+1-1-1 \\
\Leftrightarrow \hspace{2.4cm} 2k &=2k
\end{align*}\]
Die wahre Aussage bestätigt die Behauptung, dass die Mittelwerte der Längen der parallelen Seiten der Trapeze tatsächlich gleich sind und damit die Flächeninhalte identisch sind.