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Lösung Stau1

Version 1.2 von akukin am 2024/03/07 17:36
  1. x_1=0;x_2=\frac{8}{5};x_3=4 sind die einzigen Nullstellen von f, denn der Funktionsterm ist in Produktform und hat drei Faktoren, die jeweils für diese Werte von x null werden.
    Zeitpunkte: 6:00 Uhr; 7:36 Uhr; 10:00 Uhr
  2. Um 8:00 Uhr nimmt die Länge des Staus ab.
  3. f\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{4}x^3+9x^2-18x+8
    f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_1=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\sqrt{6} \approx 0,6202;\ \ x_2=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}\sqrt{6}\approx2,5798;\ \ x_3=4
    f\left(0\right)=0;\ \ f\left(x_1\right)\approx2,169;\ \ f\left(x_2\right)\approx-1,593;\ \ f\left(x_3\right)=0
    Um 6:37 Uhr nimmt die Staulänge am stärksten zu. Die Änderungsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,169 km/h.
  4. Zwischen 6:00 Uhr und 7:36 Uhr verläuft der Graph von f über der x-Achse. Da die Staulänge das Integral über f\left(x\right) zwischen x=0 und dem aktuellen Zeitpunkt ist, muss der Stau um 7:36 Uhr am längsten sein.
  5. Die Aussage ist richtig, wenn gilt, dass die Funktion s die Integralfunktion über f\left(t\right) mit der unteren Grenze t=0 (6:00 Uhr) ist:
    s\left(x\right)=\int\limits_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}
    Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung besagt:
    \left(\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\right)^\prime=f\left(x\right) Also muss gelten: s^\prime\left(x\right)=f\left(x\right)
    s\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+\ 4x^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ s^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f\left(x\right)
    Zudem muss gelten: s\left(0\right)=0
    Da beide Voraussetzungen erfüllt sind, gibt s\left(x\right) tatsächlich die Staulänge wieder.
    Zudem gilt s\left(4\right)=0, das heißt der Stau hat sich nach vier Stunden (um 10:00 Uhr) aufgelöst.
    1.\bar{m}=\frac{1}{2-0,5}\cdot\int\limits_{0,5}^{2}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\ \frac{1}{1,5}\cdot\left(s\left(2\right)-s\left(0,5\right)\right)=\frac{2}{3}\left(2-\frac{343}{512}\right)=\frac{227}{256}\approx0,8867
  6. s\left(x\right)+0,5=s\left(x-1\right)
    MMS: x_1=0,5299;\ x_2=2,3195;\ x_3=4,049;\ x_4=4,701
    Nur für x_2 sind beide Zeitpunkte im Definitionsbereich.
    Der gesuchte Zeitpunkt ist 8:19 Uhr.
  7. Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der x-Achse für 1,5\le x\le a und a\le x\le b einschließt, müssen übereintimmen.