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Die Graphen von \(h_k\) sind Parabeln k-ter Ordnung (im Falle von \(k=1\) eine Gerade), die um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben wurden. Für gerade k gilt: \(x\rightarrow\pm\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty\) Für ungerade k gilt: \(x\rightarrow\pm\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow\pm\infty\)
Alle Graphen beinhalten den Punkt \(S\left(3\middle|1\right)\) (Tiefpunkt für gerades k, Wendepunkt für ungerades k (Begründung: siehe Teilaufgabe 1.) und den Punkt \(P\left(4\middle|2\right)\), da alle ungestreckten Parabeln sich vom Tief- bzw. Wendepunkt aus gesehen 1 weiter rechts und 1 weiter oben noch einmal schneiden.
Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur \(k=2\) in Frage, denn nur dann ist \(h_k^\prime\) eine Polynomfunktion 1. Grads. Zu überprüfen ist noch, ob \(h_2^\prime\) eine Tangente an \(h_2\) beschreibt: \(h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \ \Rightarrow\ \ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6
h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-8x+16=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=4\) Also berühren sich die Graphen von \(h_2\) und \(h_2^\prime\) bei \(x=4\).
