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Lösung Stau2

Version 1.1 von akukin am 2024/03/19 19:36

Die Graphen von sind Parabeln k-ter Ordnung (im Falle von eine Gerade), die um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben wurden.
Für gerade k gilt: $x\rightarrow\pm\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty$
Für ungerade k gilt: $x\rightarrow\pm\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow\pm\infty$
Alle Graphen beinhalten den Punkt $S\left(3\middle|1\right)$ (Tiefpunkt für gerades k, Wendepunkt für ungerades k (Begründung: siehe Teilaufgabe 1.) und den Punkt $P\left(4\middle|2\right)$ , da alle ungestreckten Parabeln sich vom Tief- bzw. Wendepunkt aus gesehen 1 weiter rechts und 1 weiter oben noch einmal schneiden.
Da Tangenten durch lineare Funktionen beschrieben werden, kommt nur in Frage, denn nur dann ist $h_k^\prime$ eine Polynomfunktion 1. Grads.
Zu überprüfen ist noch, ob $h_2^\prime$ eine Tangente an beschreibt:
$h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \ \Rightarrow\ \ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6 h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-8x+16=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=4$
Also berühren sich die Graphen von und $h_2^\prime$ bei .