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Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/23 14:31
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1 An der Zeichnung, spätestens mit Blick in die Merkhilfe, kann man erkennen, dass die Fläche //U// für {{formula}}q = –2{{/formula}} kleiner ist als für {{formula}}q = –1{{/formula}}. Man kann sich logisch herleiten, dass die Fläche für {{formula}}q = –3, q = –4, …,{{/formula}} immer kleiner wird. Man startet also bei einem beliebig gewählten //q// und prüft, ob //U// existiert.
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3 //Beispiel: //
4 {{formula}} q = –2: f(x)=x^{-2} \rightarrow F(x) = -2x^{-1} = -\frac{2}{x} ; F(b)-F(1) = -\frac{2}{b}+2=2-\frac{2}{b}{{/formula}}
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6 Man sieht durch Probieren mit dem WTR oder logische Überlegung, dass {{formula}}U_{-2}=2{{/formula}} ist.
7 Gegebenenfalls kann man noch für{{formula}}q = -3{{/formula}} oder {{formula}}q = -4{{/formula}} oder {{formula}}q = -10{{/formula}} die vorherige Vermutung prüfen, dass für kleinere //q// das uneigentliche Integral kleiner wird, also erst recht existiert.
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9 //Beispiel: //
10 {{formula}} q = –10: f(x)=x^{-10} \rightarrow F(x) = -\frac{1}{9}x^{-9} = -\frac{1}{9x^9} ; F(b)-F(1) = \frac{1}{9}-\frac{1}{9b^2} \Rightarrow U_{-10}=\frac{1}{9}{{/formula}}
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12 Man sieht durch Probieren mit dem WTR oder logische Überlegung, dass {{formula}}U_{-2}=2{{/formula}} ist.
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14 Wir wählen als nächstes also Werte für //q//, die näher an 0 liegen.
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16 //Beispiel: //
17 {{formula}} q = –1: f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x} \rightarrow F(x) = \ln(x); F(b)-F(1) = \ln(b)-\ln(1)\stackrel{\ln(1)=0}{=}\ln(b) \Rightarrow U_{-1}\notin \mathbb{R}{{/formula}}
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19 „Die Grenze“ verläuft also zwischen –2 und –1:
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21 //Beispiel: // {{formula}} q = –1,5: f(x)=x^{-1,5} \rightarrow F(x) = -2x^{-0,5} = \frac{2}{\sqrt{x}}; F(b)-F(1) = 2 + \frac{2}{\sqrt{b}} \Rightarrow U_{-1,5}= 2{{/formula}}
22 //Beispiel: // {{formula}} q = –1,01: F(x) = -100x^{-\frac{1}{100}} = -\frac{100}{\sqrt[100]{x}}; F(b)-F(1) = 100 + \frac{100}{\sqrt[100]{b}} \Rightarrow U_{-1,01}= 100{{/formula}}
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24 Da für alle {{formula}} n \in \mathbb{N} {{/formula}} gilt: Für {{formula}} b \rightarrow \infty{{/formula}} folgt, dass {{formula}}U_q{{/formula}} für alle {{formula}}q < -1 {{/formula}} existiert und für alle {{formula}} q \in [-1;0] {{/formula}} nicht.