Lösung Funktionsschar
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/02 11:07
Teilaufgabe 1
Erwartungshorizont
\(a=3\)Erläuterung der Lösung
Die Punktprobe mit \(\left(1\middle|6\right)\) liefert den gesuchten Wert von \(a\):\(f\left(x\right)=ax^3+ax^2\)
\(f\left(1\right)=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^3+a\cdot1^2=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2a=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=3\)
Hinweis: Ein Rechenweg oder eine Begründung ist nicht notwendig, da der Operator „angeben“ verwendet wurde. Es genügt zu schreiben „\(a=3\)“.
Teilaufgabe 2
Erwartungshorizont
\(f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ ax^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=-1\ \ \vee\ \ x=0\)\(\int_{-1}^{0}{\left(ax^3+ax^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}ax^3\right]_{-1}^0=\frac{1}{12}a\)
Erläuterung der Lösung
Zuerst müssen die beiden Nullstellen ermittelt werden, da diese die linken und rechten Grenzen der Fläche und damit des Integrals sind. \(f\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^3+3x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0 \ \ \text{oder} \ \ x=-1\)(Satz vom Nullprodukt)
Zu berechnen ist also folgendes Integral:
\(\int_{-1}^{0}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\int_{-1}^{0}{\left(3x^3+3x^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{3}{4}x^4+x^3\right]_{-1}^0=0-\left(\frac{3}{4}\cdot\left(-1\right)^4+\left(-1\right)^3\right)=\frac{1}{4}\)
Folglich ist der gesuchte Flächeninhalt:
\(A=\frac{1}{4}\)