Wiki-Quellcode von Lösung Funktionsschar
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/02 13:07
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | === Teilaufgabe 1 === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | {{formula}}a=3{{/formula}} | ||
| 4 | {{/detail}} | ||
| 5 | |||
| 6 | |||
| 7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 8 | Die Punktprobe mit {{formula}}\left(1\middle|6\right){{/formula}} liefert den gesuchten Wert von {{formula}}a{{/formula}}: | ||
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2.1 | 9 | <br> |
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1.1 | 10 | {{formula}}f\left(x\right)=ax^3+ax^2{{/formula}} |
| 11 | <br> | ||
| 12 | {{formula}}f\left(1\right)=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a\cdot1^3+a\cdot1^2=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 2a=6\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a=3{{/formula}} | ||
| 13 | <br> | ||
| 14 | <br> | ||
| 15 | Hinweis: Ein Rechenweg oder eine Begründung ist nicht notwendig, da der Operator „angeben“ verwendet wurde. Es genügt zu schreiben „{{formula}}a=3{{/formula}}“. | ||
| 16 | |||
| 17 | {{/detail}} | ||
| 18 | |||
| 19 | === Teilaufgabe 2 === | ||
| 20 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 21 | {{formula}}f_a\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ ax^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=-1\ \ \vee\ \ x=0 | ||
| 22 | {{/formula}} | ||
| 23 | <br> | ||
| 24 | <br> | ||
| 25 | {{formula}}\int_{-1}^{0}{\left(ax^3+ax^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{1}{4}ax^4+\frac{1}{3}ax^3\right]_{-1}^0=\frac{1}{12}a | ||
| 26 | {{/formula}} | ||
| 27 | {{/detail}} | ||
| 28 | |||
| 29 | |||
| 30 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 31 | Zuerst müssen die beiden Nullstellen ermittelt werden, da diese die linken und rechten Grenzen der Fläche und damit des Integrals sind. | ||
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2.1 | 32 | {{formula}}f\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^3+3x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ 3x^2\left(x+1\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0 \ \ \text{oder} \ \ x=-1{{/formula}} |
| 33 | <br> | ||
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1.1 | 34 | (Satz vom Nullprodukt) |
| 35 | <br> | ||
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2.1 | 36 | <br> |
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1.1 | 37 | Zu berechnen ist also folgendes Integral: |
| 38 | <br> | ||
| 39 | {{formula}}\int_{-1}^{0}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\int_{-1}^{0}{\left(3x^3+3x^2\right)\mathrm{d} x}=\left[\frac{3}{4}x^4+x^3\right]_{-1}^0=0-\left(\frac{3}{4}\cdot\left(-1\right)^4+\left(-1\right)^3\right)=\frac{1}{4}{{/formula}} | ||
| 40 | <br> | ||
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2.1 | 41 | <br> |
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1.1 | 42 | Folglich ist der gesuchte Flächeninhalt: |
| 43 | <br> | ||
| 44 | {{formula}}A=\frac{1}{4}{{/formula}} | ||
| 45 | |||
| 46 | {{/detail}} |