Lösung Volumenberechnung 1
Zur Berechnung des Volumens verwenden wir die Formel \(V=\pi \cdot \int_{a}^{b} \left(f(x)\right)^2 \, dx\) aus der Merkhilfe.
a)
\(\begin{align*}
V &= \pi \cdot \int_{0}^{2} \left(\sqrt{8x+1}\right)^2 \, dx \\
&= \pi \cdot \int_{0}^{2} (8x+1) \, dx \\
&= \pi \cdot \left[ 4x^2 + x \right]_{0}^{2} \\
&= \pi \cdot \left( (4 \cdot 2^2 + 2) - (4 \cdot 0^2 + 0) \right) \\
&= \pi \cdot (16 + 2 - 0) \\
&= 18\pi \approx 56{,}55 \text{ VE}
\end{align*}\)
b)
\(\begin{align*}
V &= \pi \cdot \int_{0}^{2} \left(x^2\right)^2 \, dx \\
&= \pi \cdot \int_{0}^{2} x^4 \, dx \\
&= \pi \cdot \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{2} \\
&= \pi \cdot \left( \frac{1}{5} \cdot 2^5 - \frac{1}{5} \cdot 0^5 \right) \\
&= \pi \cdot \left( \frac{32}{5} - 0 \right) \\
&= \frac{32}{5}\pi = 6{,}4\pi \approx 20{,}11 \text{ VE}
\end{align*}\))))