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Version 1.1 von Holger Engels am 2026/03/24 08:52
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Holger Engels 1.1 1 Bestimme einen Funktionsterm, dessen Asymptote zugleich Tangente an den Funktionsgraphen ist.
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3 **Hinweis:** Senkrechte Asymptoten/ Tangenten wollen wir außen vor lassen, da dann Asymptote und Tangente an der selben Stelle liegen müssten, was sich nur mit abschnittsweise definierten Funktionen konstruieren ließe.
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5 Waagerechte Asymptoten haben Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen mit negativen Exponenten. Beides funktioniert ..
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7 **Exponentialfunktion · Potenzfunktion:**
8 Die standard Exponentialfunktionen nähern sich asymptotisch der x-Achse. Verknüpft man sie multiplikativ mit einer Normalparabel, erhält man z.B. {{formula}}f(x)=e^x \cdot x^2{{/formula}}. Diese nähert sich für {{formula}}x\rightarrow -\infty{{/formula}} der x-Achse an und berührt die x-Achse an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} (doppelte Nullstelle).
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10 **Transformierte Potenzfunktion · Potenzfunktion:**
11 Die transformierte Potenzfunktion {{formula}}p(x)=(x-1)^{-3}{{/formula}} nähert sich asymptotisch der x-Achse an. Multipliziert mit {{formula}}x^2{{/formula}} erhalten wir eine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften: {{formula}}f(x)=(x-1)^{-3}\cdot x^2{{/formula}} (hier wieder doppelte NS bei {{formula}}x=0{{/formula}}).
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