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Wiki-Quellcode von Lösung Parameter bestimmen

Version 2.1 von akukin am 2026/03/23 18:45
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 Um die fehlenden Parameter zu stimmen, setzen wir die gegebenen Punkte jeweils in die Funktionsgleichung ein:
2
3 1. ((({{formula}}S_x(-2|0){{/formula}}: {{formula}}0=ae^{k(-2)}(-2-c){{/formula}}
4
5 Nach dem Satz vom Nullprodukt muss mindestens einer der drei Faktoren {{formula}}a, e^{k(-2)}{{/formula}} oder {{formula}}(2-c){{/formula}} null sein, damit die Gleichung erfüllt ist.
6 Da für die e-Funktion für alle {{formula}}k{{/formula}} {{formula}}e^{k(-2)}\neq 0{{/formula}} gilt, muss somit entweder {{formula}}a=0{{/formula}} oder {{formula}}(-2-c)=0{{/formula}} gelten.
7
8 Für {{formula}}a=0{{/formula}} würde die entstehende Nullfunktion {{formula}}f(x)=0{{/formula}} jedoch durch keine der gegebenen Punkte gehen.
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10 Somit muss {{formula}}(-2-c)=0{{/formula}} gelten und wir erhalten durch Umstellen {{formula}}(-2-c)=0 \ \Leftrightarrow \ c=-2{{/formula}}.
11 )))
akukin 2.1 12 1. ((({{formula}}S_y(0|6){{/formula}}: {{formula}}6=ae^{k\cdot 0}(0-c)=ae^0(-c)=a\cdot 1\cdot (-c)=a\cdot (-c){{/formula}}
akukin 1.1 13
14 Wir wissen bereits, dass {{formula}}c=-2{{/formula}} ist. Somit erhalten wir:
15 {{formula}}
16 \begin{align*}
17 6 &=a\cdot (-c) \\
18 6&=a\cdot 2 \mid :2 \\
19 \Leftrightarrow a&=3
20 \end{align*}
21 {{/formula}}
22
23 Bisher lautet die Funktion also {{formula}}f(x)=3e^{kx}(x+2){{/formula}}
24 )))
akukin 2.1 25 1. ((({{formula}}P(1|1){{/formula}}: {{formula}}1=3e^{k\cdot 1}(1+2)=3e^k\cdot 3= 9e^k{{/formula}}
akukin 1.1 26
27 Umstellen nach {{formula}}k{{/formula}}:
28 {{formula}}
29 \begin{align*}
akukin 2.1 30 1=9e^k \mid : 9 \\
31 e^k=\frac{1}{9} \mid \ln \\
akukin 1.1 32 k=\ln\left(\frac{1}{9}\right)
33 \end{align*}
34 {{/formula}}
35 )))
36
akukin 2.1 37 Die Parameter sind somit gegeben durch {{formula}}a=3, c=-2{{/formula}} und {{formula}}k=\ln\left(\frac{1}{9}\right){{/formula}}.
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akukin 2.1 41