Lösung Rutsche

Die Rutsche startet auf 3m Höhe. Das heißt, es gilt
\(f(0)=3\).
Weiterhin gilt, dass sie 3m weiter links 0,3m über dem Boden endet. Daher gilt \(f(-3)=0{,}3\).

Zudem ist bekannt, dass die Rutsche am Start- und Endpunkt waagerecht ist (d.h. waagerechte Tangente/keine Steigung). Somit ist
\(f'(0)=f'(-3)=0\).

Insgesamt haben wir vier Bedingungen gegeben:

• \(f(0)=3\)
• \(f'(0)=0\)
• \(f(-3)=0{,}3\)
• \(f'(-3)=0\)

Gesucht ist somit eine Polynomfunktion mit vier Unbekannten. Wir wählen also als Ansatz eine Polynomfunktion dritten Grades:\(f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)
mit der ersten Ableitung \(f'(x)=3a_3x^2+2a_2x+a_1\)

Einsetzen der ersten beiden Bedingungen:

• \(f(0)=3\implies =a_3\cdot 0^3+a_2\cdot 0^2+a_1 \cdot 0+a_0=a_0=3\)
• \(f'(0)=0 \implies f'(0)=3a_3\cdot 0^2+2a_2\cdot 0+a_1=a_1=0\)

Die bereits bekannten Variablen setzen wir ein und erhalten
\(f(x)=a_3x^3+a_2x^2+3\).

Einsetzen der restlichen Bedingungen:

• \(f(-3)=0{,}3 \implies \)
  \(\begin{align*} f(-3)&=a_3\cdot (-3)^3+a_2\cdot (-3)^2+3 \\&=-27a_3+9a_2+3=0{,}3 \\ \Leftrightarrow &-27a_3+9a_2=-2{,}7 \end{align*}\)
• \(f'(-3)=0 \implies f'(-3)=3a_3\cdot (-3)^2+2a_2\cdot (-3)=27a_3-6a_2=0\)

Wir erhalten das LGS
\(\text{(1)} -27a_3+9a_2=-2{,}7\)
\(\text{(2)} 27a_3-6a_2=0\)

Dieses können wir beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren lösen:

Aus \(\text{(2)}\):
\(\begin{align*} 27a_3-6a_2 &=0 &&\mid +6a_2\\ \Leftrightarrow 27a_3 &=6a_2 &&\mid :6 \\ \Leftrightarrow \ \ 4{,}5a_3&=a_2 \end{align*}\)

Einsetzen von \(a_2=4{,}5a_3\) in \(\text{(1)}\):
\(\begin{align*} -27a_3+9\cdot 4{,}5 a_3&=-2{,}7 \\ \Leftrightarrow -27a_3+40{,}5a_3 &=-2{,}7 \\ \Leftrightarrow 13{,}5 a_3&=-2{,}7 &&\mid :(13{,}5) \\ \Leftrightarrow a_3&=-0{,}2 \end{align*}\)

Damit ist \(a_2=4{,}5a_3=4{,}5\cdot(-0{,}2)=-0{,}9\).

Insgesamt lautet die gesuchte Polynomfunktion:
\(f(x)=-0{,}2x^3-0{,}9x^2+3\)