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Wiki-Quellcode von Lösung Rutsche

Version 1.1 von akukin am 2026/03/30 23:30
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1 Die Rutsche startet auf 3m Höhe. Das heißt, es gilt
2 {{formula}}f(0)=3{{/formula}}.
3 Weiterhin gilt, dass sie 3m weiter links 0,3m über dem Boden endet. Daher gilt {{formula}}f(-3)=0{,}3{{/formula}}.
4
5 Zudem ist bekannt, dass die Rutsche am Start- und Endpunkt waagerecht ist (d.h. waagerechte Tangente/keine Steigung). Somit ist
6 {{formula}}f'(0)=f'(-3)=0{{/formula}}.
7
8 Insgesamt haben wir vier Bedingungen gegeben:
9 * {{formula}}f(0)=3{{/formula}}
10 * {{formula}}f'(0)=0{{/formula}}
11 * {{formula}}f(-3)=0{,}3{{/formula}}
12 * {{formula}}f'(-3)=0{{/formula}}
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14 Gesucht ist somit eine Polynomfunktion mit vier Unbekannten. Wir wählen also als Ansatz eine Polynomfunktion dritten Grades:{{formula}}f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0{{/formula}}
15 mit der ersten Ableitung {{formula}}f'(x)=3a_3x^2+2a_2x+a_1{{/formula}}
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17 Einsetzen der ersten beiden Bedingungen:
18 {{formula}}f(0)=3\implies =a_3\cdot 0^3+a_2\cdot 0^2+a_1 \cdot 0+a_0=a_0=3{{/formula}}
19 {{formula}}f'(0)=0 \implies f'(0)=3a_3\cdot 0^2+2a_2\cdot 0+a_1=a_1=0{{/formula}}
20
21 Die bereits bekannten Variablen setzen wir ein und erhalten
22 {{formula}}f(x)=a_3x^3+a_2x^2+3{{/formula}}.
23
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25 Einsetzen der restlichen Bedingungen:
26 * {{formula}}f(-3)=0{,}3 \implies {{/formula}}
27 {{formula}}
28 \begin{align*}
29 f(-3)&=a_3\cdot (-3)^3+a_2\cdot (-3)^2+3 \\&=-27a_3+9a_2+3=0{,}3 \\
30 \Leftrightarrow &-27a_3+9a_2=-2{,}7
31 \end{align*}
32 {{/formula}}
33 * {{formula}}f'(-3)=0 \implies f'(-3)=3a_3\cdot (-3)^2+2a_2\cdot (-3)=27a_3-6a_2=0{{/formula}}
34
35 Wir erhalten das LGS
36 {{formula}}\text{(1)} -27a_3+9a_2=-2{,}7{{/formula}}
37 {{formula}}\text{(2)} 27a_3-6a_2=0{{/formula}}
38
39 Dieses können wir beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren lösen:
40
41 Aus {{formula}}\text{(2)}{{/formula}}:
42 {{formula}}
43 \begin{align*}
44 27a_3-6a_2 &=0 &&\mid +6a_2\\
45 \Leftrightarrow 27a_3 &=6a_2 &&\mid :6 \\
46 \Leftrightarrow \ \ 4{,}5a_3&=a_2
47 \end{align*}
48 {{/formula}}
49
50 Einsetzen von {{formula}}a_2=4{,}5a_3{{/formula}} in {{formula}}\text{(1)}{{/formula}}:
51 {{formula}}
52 \begin{align*}
53 -27a_3+9\cdot 4{,}5 a_3=-2{,}7 \\
54 \Leftrightarrow -27a_3+40{,}5a_3 =-2{,}7 \\
55 \Leftrightarrow 13{,}5 a_3=-2{,}7 &&\mid :(13{,}5) \\
56 \Leftrightarrow a_3&=-0{,}2
57 \end{align*}
58 {{/formula}}
59
60 Damit ist {{formula}}a_2=4{,}5a_3=4{,}5\cdot(-0{,}2)=-0{,}9{{/formula}}.
61
62
63
64 Insgesamt lautet die gesuchte Polynomfunktion:
65 {{formula}}f(x)=-0{,}2x^3-0{,}9x^2+3{{/formula}}