Änderungen von Dokument Lösung Fluß

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

...	...	@@ -2,7 +2,7 @@
2	2
3	3	__Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
4	4	Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
5		-Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
	5	+Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}}
6	6
7	7	__Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?
8	8
...	...	@@ -26,17 +26,17 @@
26	26
27	27	{{formula}}
28	28	\begin{align*}
29		-&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\
30		-\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
31		-\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\
32		-\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\
33		-\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\
34		-\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\
	29	+&\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &&\mid +1\\
	30	+\Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &&\mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
	31	+\Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &&\mid ()^2 \\
	32	+\Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &&\mid -x^2 \\
	33	+\Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &&\mid :35 \\
	34	+\Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &&\mid \sqrt \\
35	35	\Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} &
36	36	\end{align*}
37	37	{{/formula}}
38	38
39		-Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
	39	+Dabei kommt nur die positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
40	40	{{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} **Minimum**
41	41
42	42	Einsetzen in die Zielfunktion liefert
...	...	@@ -49,7 +49,7 @@
49	49	Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}).
50	50
51	51
52		-[[image:Fluss berechnet.PNG||width="200" style="float: right"]]
	52	+[[image:Fluss berechnet.PNG||width="250" style="float: right"]]
53	53	Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein:
54	54	{{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}}
55	55	{{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}}