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Wiki-Quellcode von Lösung Fluß

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/02 18:18
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1 [[image:Fluss.PNG||width="350" style="float: right"]]
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3 __Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}}
4 Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}};
5 Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}}
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7 __Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt?
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9 Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die **Hauptbedingung**:
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11 {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}}
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13 Die **Nebenbedingungen** lauten:
14 {{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}}
15 {{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}}
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17 Somit lautet die **Zielfunktion**:
18 {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}}
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20 mit den Ableitungen
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22 {{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}}
23 {{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}}
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25 Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich
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27 {{formula}}
28 \begin{align*}
29 &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &&\mid +1\\
30 \Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &&\mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\
31 \Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &&\mid ()^2 \\
32 \Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &&\mid -x^2 \\
33 \Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &&\mid :35 \\
34 \Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &&\mid \sqrt \\
35 \Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} &
36 \end{align*}
37 {{/formula}}
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39 Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt
40 {{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} **Minimum**
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42 Einsetzen in die Zielfunktion liefert
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44 {{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}.
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46 An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man
47 {{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}.
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49 Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}).
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52 [[image:Fluss berechnet.PNG||width="250" style="float: right"]]
53 Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein:
54 {{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}}
55 {{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}}
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57 {{formula}}\implies \overline{AD} + \overline{DC} = 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}}
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59 Für die Dauer ergibt sich jeweils
60 {{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}}
61 {{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}}
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63 Und damit insgesamt
64 {{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} **13 min 11 sec**