Wiki-Quellcode von Lösung Fluß
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | [[image:Fluss.PNG||width="280" style="float: right"]] | ||
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| 3 | __Gegeben:__ {{formula}} \overline{AD}= 500\text{m}; \overline{BC}= 1000\text{m};{{/formula}} | ||
| 4 | Geschwindigkeit von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}D{{/formula}}: {{formula}}v_{AD}= 50 \frac{\text{m}}{\text{min}}{{/formula}}; | ||
| 5 | Geschwindigkeit von {{formula}}D{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}}: {{formula}}v_{DC}= 300 \frac{\text{m}}{\text{min}{{/formula}} | ||
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| 7 | __Gesucht:__ Wie groß muss {{formula}}x{{/formula}} sein, sodass er möglichst schnell von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} kommt? | ||
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| 9 | Da der Sportler den Weg von {{formula}}D{{/formula}} zu {{formula}}C{{/formula}} 6 mal so schnell zurücklegt, wie den von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}D{{/formula}}, lautet die Hauptbedingung: | ||
| 10 | {{formula}}S = 6 \cdot \overline{AD} + \overline {DC}{{/formula}} | ||
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| 12 | Die Nebenbedingungen lauten: | ||
| 13 | {{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+x^2}{{/formula}} | ||
| 14 | {{formula}}\overline{DC}= 1000 - x{{/formula}} | ||
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| 16 | Somit lautet die Zielfunktion: | ||
| 17 | {{formula}}S(x)= 6 \cdot \sqrt{500^2+x^2} + 1000 - x {{/formula}} | ||
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| 19 | mit den Ableitungen | ||
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| 21 | {{formula}}S'(x)= \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1{{/formula}} | ||
| 22 | {{formula}}S''(x)= 6x \bigl(-\frac{1}{2}(500^2+x^2)^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x \bigl) + 6(500^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}{{/formula}} | ||
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| 24 | Durch die notwendige Bedingung {{formula}}S'(x)=0{{/formula}} ergibt sich | ||
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| 26 | {{formula}} | ||
| 27 | \begin{align*} | ||
| 28 | &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}-1&=&\: 0 &\: \mid +1\\ | ||
| 29 | \Leftrightarrow &\: \frac{6x}{\sqrt{500^2+x^2}}&=&\: 1 &\: \mid \cdot \sqrt{500^2+x^2}\\ | ||
| 30 | \Leftrightarrow &\: 6x &=&\: \sqrt{500^2+x^2} &\: \mid ()^2 \\ | ||
| 31 | \Leftrightarrow &\: 36x^2 &=&\: 500^2+x^2 &\: \mid -x^2 \\ | ||
| 32 | \Leftrightarrow &\: 35x^2 &=&\: 500^2 &\: \mid :35 \\ | ||
| 33 | \Leftrightarrow &\: x^2 &=&\: \frac{500^2}{35} &\: \mid \sqrt \\ | ||
| 34 | \Leftrightarrow &\: x_{1,2} &=&\: \pm \frac{100\sqrt{35}}{7} & | ||
| 35 | \end{align*} | ||
| 36 | {{/formula}} | ||
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| 38 | Dabei kommt nur die positive positive Lösung {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} in Frage. Einsetzen der Lösung in die zweite Ableitung ergibt | ||
| 39 | {{formula}}S''\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) \approx 0,0115 >0 \rightarrow{{/formula}} Minimum | ||
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| 41 | Einsetzen in die Zielfunktion liefert | ||
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| 43 | {{formula}}S\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl) = 6 \cdot \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}+1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 3958,04{{/formula}}. | ||
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| 45 | An den Randwerten des Definitionsbereiches {{formula}}D=[0;1000]{{/formula}} erhält man | ||
| 46 | {{formula}}S(0)=4000{{/formula}} und {{formula}}S(1000)\approx 6708{{/formula}}. | ||
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| 48 | Demnach liegt bei {{formula}}x_1 = \frac{100\sqrt{35}}{7}{{/formula}} ein globales Minimum vor, denn {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 4000({{/formula}} (und {{formula}}S(x_1)\approx 3958,04 < 6708{{/formula}}). | ||
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| 50 | Nun setzt man {{formula}}x_1{{/formula}} in die NB ein: | ||
| 51 | {{formula}}\overline{AD}= \sqrt{500^2+\Bigl(\frac{100\sqrt{35}}{7}\Bigl)^2}\approx 507,09 \text{m}{{/formula}} | ||
| 52 | {{formula}}\overline{DC}= 1000 - \frac{100\sqrt{35}}{7} \approx 915,49 \text{m}{{/formula}} | ||
| 53 | {{formula}}\overline{AD} + \overline{DC} 507,09 \text{m}+915,49 \text{m} = 1422,58 \text{m}{{/formula}} | ||
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| 55 | Für die Dauer ergibt sich jeweils | ||
| 56 | {{formula}} t_{AD}= \frac{507,09 \text{m}}{50 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 10,14 \text{min}{{/formula}} | ||
| 57 | {{formula}}t_{DC} = \frac{915,49 \text{m}}{300 \frac{\text{m}}{\text{min}}}= 3,05 \text{min} {{/formula}} | ||
| 58 | |||
| 59 | Und damit insgesamt | ||
| 60 | {{formula}}t_{ges}=10,14 \text{min}+3,05 \text{min} = 13,19 \text{min} \rightarrow{{/formula}} 13 min 11 sec |