Änderungen von Dokument Lösung Optimierungsaufgabe beschreiben

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-[[image:beispiel.jpg]]
	1	+[[image:OptimierungBeschreibungRechteck.svg||width="400"]]
	2	+Nach Aufgabenstellung reicht eine Beschreibung aus. Diese könnte wie folgt aussehen:
	3	+1. Die Hauptbedingung ({{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}) mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
	4	+1. Nebenbedingung herausfinden und als Funktion beschreiben.
	5	+1. Nebenbedingung ({{formula}}v=f(u)=f(-u)=\frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}) in die Hauptfunktion einsetzen mit dem Ziel, nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
	6	+1. Dann die erste Ableitung gleich Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
	7	+1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
	8	+1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
	9	+
	10	+
	11	+
	12	+
	13	+{{lehrende}}
	14	+//Ausführlicher Lösungsweg//:
	15	+Das Rechteck besitzt die Breite {{formula}}2u{{/formula}} und die Höhe {{formula}}f(u){{/formula}}.
	16	+Um das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt zu berechnen, stellen wir die Hauptbedingung mit den Ausgangsgrößen und gegebenen Variablen auf:
	17	+{{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}.
	18	+Die Nebenbedingung lautet dabei {{formula}}v=f(u)=f(-u){{/formula}}.
	19	+
	20	+Wir bestimmen nun mit der Produktform einen Funktionsterm für {{formula}}f{{/formula}}. Die Nullstellen der Funktion befinden sich an den Stellen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} und sind beides doppelte Nullstellen, da der Graph die x-Achse berührt.
	21	+Das heißt es gilt {{formula}}f(x)=a\cdot (x-2)^2(x+2)^2{{/formula}}.
	22	+
	23	+Um nun {{formula}}a{{/formula}} zu bestimmen, setzen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse {{formula}}(0|2){{/formula}} in die Funktionsgleichung ein und erhalten
	24	+{{formula}}
	25	+\begin{align*}
	26	+2&=a\cdot (0-2)^2(0+2)^2 \\
	27	+2&=a\cdot 4\cdot 4 \\
	28	+2&= a\cdot 16 &&\mid :16 \\
	29	+a&= \frac{1}{8}
	30	+\end{align*}
	31	+{{/formula}}
	32	+
	33	+Die Funktionsgleichung lautet somit {{formula}}f(x)=\frac{1}{8}\cdot (x-2)^2(x+2)^2{{/formula}} und die Nebenbedingung {{formula}}v=f(u)=\frac{1}{8}\cdot (u-2)^2(u+2)^2=\frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}.
	34	+
	35	+Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert
	36	+{{formula}}A(u)=2u\cdot \frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2=\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}
	37	+mit der ersten Ableitung
	38	+{{formula}}A'(u)=\frac{1}{4}\cdot (u^2-4)^2+\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)\cdot 2u{{/formula}}.
	39	+
	40	+Nun setzen wir die erste Ableitung gleich Null und bestimmen die Extremstellen:
	41	+{{formula}}A'(u)=\frac{1}{4}\cdot (u^2-4)^2+\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)\cdot 2u{{/formula}}
	42	+
	43	+{{/lehrende}}
	44	+