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Zuletzt geändert von akukin am 2025/11/30 21:12
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1 [[image:OptimierungBeschreibungRechteck.svg||width="400"]]
2 Nach Aufgabenstellung reicht eine Beschreibung aus. Diese könnte wie folgt aussehen:
3 1. Die Hauptbedingung ({{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}) mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
4 1. Nebenbedingung herausfinden und als Funktion beschreiben.
5 1. Nebenbedingung ({{formula}}v=f(u)=f(-u)=\frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}) in die Hauptfunktion einsetzen mit dem Ziel, nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
6 1. Dann die erste Ableitung gleich Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
7 1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
8 1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
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13 {{lehrende}}
14 //Ausführlicher Lösungsweg//:
15 Das Rechteck besitzt die Breite {{formula}}2u{{/formula}} und die Höhe {{formula}}f(u){{/formula}}.
16 Um das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt zu berechnen, stellen wir die Hauptbedingung mit den Ausgangsgrößen und gegebenen Variablen auf:
17 {{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}.
18 Die Nebenbedingung lautet dabei {{formula}}v=f(u)=f(-u){{/formula}}.
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20 Wir bestimmen nun mit der Produktform einen Funktionsterm für {{formula}}f{{/formula}}. Die Nullstellen der Funktion befinden sich an den Stellen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} und sind beides doppelte Nullstellen, da der Graph die x-Achse berührt.
21 Das heißt es gilt {{formula}}f(x)=a\cdot (x-2)^2(x+2)^2{{/formula}}.
22
23 Um nun {{formula}}a{{/formula}} zu bestimmen, setzen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse {{formula}}(0|2){{/formula}} in die Funktionsgleichung ein und erhalten
24 {{formula}}
25 \begin{align*}
26 2&=a\cdot (0-2)^2(0+2)^2 \\
27 2&=a\cdot 4\cdot 4 \\
28 2&= a\cdot 16 &&\mid :16 \\
29 a&= \frac{1}{8}
30 \end{align*}
31 {{/formula}}
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33 Die Funktionsgleichung lautet somit {{formula}}f(x)=\frac{1}{8}\cdot (x-2)^2(x+2)^2{{/formula}} und die Nebenbedingung {{formula}}v=f(u)=\frac{1}{8}\cdot (u-2)^2(u+2)^2=\frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}.
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35 Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert
36 {{formula}}A(u)=2u\cdot \frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2=\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}
37 mit der ersten Ableitung
38 {{formula}}A'(u)=\frac{1}{4}\cdot (u^2-4)^2+\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)\cdot 2u{{/formula}}.
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40 Nun setzen wir die erste Ableitung gleich Null und bestimmen die Extremstellen:
41 {{formula}}A'(u)=\frac{1}{4}\cdot (u^2-4)^2+\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)\cdot 2u=0{{/formula}}
42 ...
43
44 {{/lehrende}}