Änderungen von Dokument Lösung Optimierungsaufgabe beschreiben

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-[[image:OptimierungBeschreibungRechteck.svg||width="400"]]
2		-Nach Aufgabenstellung reicht eine Beschreibung aus. Diese könnte wie folgt aussehen:
3		-1. Die Hauptbedingung ({{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}) mit Ausgangsgrößen und Variablen aufstellen.
4		-1. Nebenbedingung herausfinden und als Funktion beschreiben.
5		-1. Nebenbedingung ({{formula}}v=f(u)=f(-u)=\frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}) in die Hauptfunktion einsetzen mit dem Ziel, nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt → Zielfunktion.
6		-1. Dann die erste Ableitung gleich Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen.
7		-1. Definitionsbereich beachten und Definitionsränder auch ausrechnen.
8		-1. Mathematisches Ergebnis im Kontext zur Aufgabe interpretieren.
9		-
10		-
11		-
12		-
13		-{{lehrende}}
14		-//Ausführlicher Lösungsweg//:
15		-Das Rechteck besitzt die Breite {{formula}}2u{{/formula}} und die Höhe {{formula}}f(u){{/formula}}.
16		-Um das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt zu berechnen, stellen wir die Hauptbedingung mit den Ausgangsgrößen und gegebenen Variablen auf:
17		-{{formula}}A=2u\cdot v{{/formula}}.
18		-Die Nebenbedingung lautet dabei {{formula}}v=f(u)=f(-u){{/formula}}.
19		-
20		-Wir bestimmen nun mit der Produktform einen Funktionsterm für {{formula}}f{{/formula}}. Die Nullstellen der Funktion befinden sich an den Stellen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=2{{/formula}} und sind beides doppelte Nullstellen, da der Graph die x-Achse berührt.
21		-Das heißt es gilt {{formula}}f(x)=a\cdot (x-2)^2(x+2)^2{{/formula}}.
22		-
23		-Um nun {{formula}}a{{/formula}} zu bestimmen, setzen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse {{formula}}(0|2){{/formula}} in die Funktionsgleichung ein und erhalten
24		-{{formula}}
25		-\begin{align*}
26		-2&=a\cdot (0-2)^2(0+2)^2 \\
27		-2&=a\cdot 4\cdot 4 \\
28		-2&= a\cdot 16 &&\mid :16 \\
29		-a&= \frac{1}{8}
30		-\end{align*}
31		-{{/formula}}
32		-
33		-Die Funktionsgleichung lautet somit {{formula}}f(x)=\frac{1}{8}\cdot (x-2)^2(x+2)^2{{/formula}} und die Nebenbedingung {{formula}}v=f(u)=\frac{1}{8}\cdot (u-2)^2(u+2)^2=\frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}.
34		-
35		-Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert
36		-{{formula}}A(u)=2u\cdot \frac{1}{8}\cdot (u^2-4)^2=\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)^2{{/formula}}
37		-mit der ersten Ableitung
38		-{{formula}}A'(u)=\frac{1}{4}\cdot (u^2-4)^2+\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)\cdot 2u{{/formula}}.
39		-
40		-Nun setzen wir die erste Ableitung gleich Null und bestimmen die Extremstellen:
41		-{{formula}}A'(u)=\frac{1}{4}\cdot (u^2-4)^2+\frac{1}{4}u\cdot (u^2-4)\cdot 2u{{/formula}}
42		-
43		-{{/lehrende}}
44		-
	1	+[[image:beispiel.jpg]]