Lösung Zaun

Zuletzt geändert von akukin am 2024/01/18 13:01

Schafweide.png

Hauptbedingung:
A= x \cdot y

Nebenbedingung:

\begin{align*} 2x+y &= 110 \quad \mid -2x\\ \Leftrightarrow y &= 110-2x \\ \end{align*}

Einsetzen von y= 110-2x in die Hauptbedingung liefert die Zielfunktion
A(x)=x\cdot (110-2x)=-2x^2+110x

mit A'(x)=-4x+110

Gleichsetzen der ersten Ableitung mit Null liefert

\begin{align*} &\: A'(x) = 0 \\ &\:\Leftrightarrow -4x+110 \; = 0 &\: \mid -110 \\ &\: \Leftrightarrow -4x \quad \qquad =-110 &\: \mid :(-4) \\ &\: \Leftrightarrow x \; \qquad \qquad = 27,5 \end{align*}

Da A''(x)=-4 < 0, liegt ein Maximum vor.

Es ist A(27,5)=1512,5 \text{m}^2.
An den Rändern des Definitionsbereiches D=[0,110] gilt A(0)=0 und A(110)=0. Damit liegt bei x=27,5 ein globales Maximum vor.

Einsetzen in die NB: y=100-2\cdot 27,5=55.

Somit ist der Flächenhalt maximal für die Seitenlängen x=27,5 \text{m} und y=55 \text{m}.