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Lösung Zelt

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/01/05 16:27

Der Definitionsbereich für a ist \(]0; \sqrt(2,5^2+2,5^2)[ \approx [0; 3,5]\) (Obergrenze abgerundet)

Die Höhe h ist abhängig von a. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Phytagoras lässt sich folgende Formel für die Höhe herleiten:

\[h \left ( a \right ) = \sqrt{2{,}5^{2} - \frac{1}{2} a^{2}}\]

Wenn man diese nun in die Volumenformel einsetzt, ergibt sich die Zielfunktion zu:

\[V \left ( a \right ) = \frac{1}{3} a^{2} · \sqrt{6{,}25 - \frac{1}{2} a^{2}}\]

Kandidaten für Maximalstellen von V(a) liefert die Gleichung \(V'(a)=0\). Viel einfacher erhält man diese Kandidaten, indem man die Ableitung von\(V^2(a)\) gleich null setzt:

\[V^2(a) = \frac{1}{9} a^4 (6.25 - \frac{1}{2} a^2) = \frac{25}{36}a^4 - \frac{25}{18}a^6\]

Damit lässt sich viel einfacher rechnen! Ableiten und gleich Null setzen liefert:

\[(V^2(a))' = \frac{100}{36} a^3 - \frac{1}{3}a^5 \overset{!}{=} 0\]
\[\Rightarrow a^3(\frac{100}{36} - \frac{1}{3}a^2) = 0\]
\[\Rightarrow a_1 = 0 \wedge \frac{100}{36} = \frac{1}{3}a^2\]
\[a_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{300}{36}} \approx \pm 2{,}89\]

Die Lösung \(a=2{,}89\) ist die einzige, die im Definitionsbereich liegt und somit die gesuchte Maximalstelle. Bemerkung: Die Lösung \(a=0\) (Kantenlänge Null) ist ein Minimum.

\(V_{max}\) ergibt sich durch Einsetzen von a in V:

\[V \left ( \sqrt{\frac{300}{36}} \right ) = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{300}{36}}^{2} · \sqrt{6{,}25 - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{300}{36}}^{2}} \approx 4.01\]

Die zugehörige Höhe durch Einsetzen von a in h:

\[h \left ( \sqrt{\frac{300}{36}} \right ) = \sqrt{2{,}5^{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{300}{36}}^{2}} \approx 1{,}44\]