Lösung Zelt
Der Definitionsbereich für a ist \(]0; \sqrt(2,5^2+2,5^2)[ \approx [0; 3,5]\) (Obergrenze abgerundet)
Die Höhe h ist abhängig von a. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Phytagoras lässt sich folgende Formel für die Höhe herleiten:
Wenn man diese nun in die Volumenformel einsetzt, ergibt sich die Zielfunktion zu:
Kandidaten für Maximalstellen von V(a) liefert die Gleichung \(V'(a)=0\). Viel einfacher erhält man diese Kandidaten, indem man die Ableitung von\(V^2(a)\) gleich null setzt:
Damit lässt sich viel einfacher rechnen! Ableiten und gleich Null setzen liefert:
Die Lösung \(a=2{,}89\) ist die einzige, die im Definitionsbereich liegt und somit die gesuchte Maximalstelle. Bemerkung: Die Lösung \(a=0\) (Kantenlänge Null) ist ein Minimum.
\(V_{max}\) ergibt sich durch Einsetzen von a in V:
Die zugehörige Höhe durch Einsetzen von a in h: